Задание №23 — Уравнение теплового баланса

Решение:

Обозначения. $m_{\text{в}}=250\ \text{г}=0{,}25\ \text{кг}$ — масса воды в калориметре; $m_{\text{л}}=140\ \text{г}=0{,}14\ \text{кг}$ — масса льда; $t_0$ — искомая начальная температура воды; $t_{\text{л}}=0\ ^\circ\text{С}$ — начальная температура льда; $t=0\ ^\circ\text{С}$ — общая температура в состоянии теплового равновесия; $c=4200\ \dfrac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot{}^\circ\text{С}}$ — удельная теплоёмкость воды; $\lambda=3{,}3\cdot 10^{5}\ \text{Дж/кг}$ — удельная теплота плавления льда.

Теплоёмкостью калориметра и теплообменом с окружающей средой пренебрегаем, поэтому система «вода + лёд» теплоизолирована и справедливо уравнение теплового баланса: количество теплоты, отданное остывающей водой, равно количеству теплоты, полученному льдом,

$$Q_{\text{отд}}=Q_{\text{погл}}.$$

Вода остывает от $t_0$ до $t=0\ ^\circ\text{С}$, не замерзая (по условию в конце в калориметре вода при $0\ ^\circ\text{С}$), и отдаёт

$$Q_{\text{отд}}=c\,m_{\text{в}}\,(t_0-t)=c\,m_{\text{в}}\,t_0.$$

Лёд уже находится при температуре плавления $0\ ^\circ\text{С}$, поэтому он не нагревается, а только плавится, поглощая

$$Q_{\text{погл}}=\lambda\,m_{\text{л}}.$$

Образовавшаяся из льда вода остаётся при $0\ ^\circ\text{С}$ и теплоты больше не получает. Тогда

$$c\,m_{\text{в}}\,t_0=\lambda\,m_{\text{л}}\quad\Longrightarrow\quad t_0=\dfrac{\lambda\,m_{\text{л}}}{c\,m_{\text{в}}}.$$

Подставим числа:

$$t_0=\dfrac{3{,}3\cdot 10^{5}\cdot 0{,}14}{4200\cdot 0{,}25}=\dfrac{46\,200}{1050}=44\ ^\circ\text{С}.$$

Проверка. Вода отдаёт $4200\cdot 0{,}25\cdot 44=46\,200\ \text{Дж}$, а на плавление всего льда требуется $3{,}3\cdot 10^{5}\cdot 0{,}14=46\,200\ \text{Дж}$ — теплоты хватает ровно на то, чтобы расплавить весь лёд и охладить воду до $0\ ^\circ\text{С}$, что и описано в условии.

Ответ: $t_0=44\ ^\circ\text{С}$.

Источник: ФИПИ