Задание №23 — Линзы. Оптическая сила линзы. Формула тонкой линзы

Решение:

Обозначения. $f = 9\ \text{см}$ — расстояние от линзы до изображения, $d$ — расстояние от линзы до предмета, $\Gamma = \dfrac{1}{4}$ — линейное увеличение линзы (изображение уменьшено в 4 раза), $F$ — фокусное расстояние линзы, $D = \dfrac{1}{F}$ — её оптическая сила.

Рассеивающая линза при любом положении предмета даёт мнимое, прямое и уменьшенное изображение, расположенное с той же стороны от линзы, что и предмет. В формуле тонкой линзы

$$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$$

для рассеивающей линзы фокусное расстояние отрицательно ($F \lt 0$), а для мнимого изображения отрицательно расстояние до изображения. Поэтому удобно записать формулу сразу через модули величин:

$$\frac{1}{d} - \frac{1}{|f|} = -\frac{1}{|F|} \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{1}{|F|} = \frac{1}{|f|} - \frac{1}{d}.$$

Линейное увеличение линзы определяется отношением расстояний:

$$\Gamma = \frac{|f|}{d} = \frac{1}{4} \quad\Rightarrow\quad d = 4|f| = 4\cdot 9\ \text{см} = 36\ \text{см}.$$

Подставляем в формулу линзы:

$$\frac{1}{|F|} = \frac{1}{9\ \text{см}} - \frac{1}{36\ \text{см}} = \frac{4 - 1}{36\ \text{см}} = \frac{3}{36\ \text{см}} = \frac{1}{12\ \text{см}} .$$

Отсюда

$$|F| = 12\ \text{см} = 0{,}12\ \text{м}.$$

В общем виде: $|F| = \dfrac{d\,|f|}{d - |f|} = \dfrac{36\cdot 9}{36 - 9}\ \text{см} = 12\ \text{см}$.

Проверка: для рассеивающей линзы мнимое изображение всегда лежит между линзой и фокусом, то есть должно быть $|f| \lt |F|$; действительно, $9\ \text{см} \lt 12\ \text{см}$. Увеличение при этом $\Gamma = \dfrac{9}{36} = 0{,}25$, как и требуется по условию. (Оптическая сила линзы $D = -\dfrac{1}{0{,}12\ \text{м}} \approx -8{,}3\ \text{дптр}$.)

Ответ: $|F| = 12\ \text{см} = 0{,}12\ \text{м}$.