Задание №23 — Энергия поля конденсатора

Решение:

Обозначения. $d = 2\ \text{см} = 0{,}02\ \text{м}$ — расстояние между пластинами; $U = 10\ \text{кВ} = 10^4\ \text{В}$ — напряжение на конденсаторе; $q = -8\cdot 10^{-11}\ \text{Кл}$ — заряд капли; $E$ — модуль напряжённости однородного электрического поля между пластинами; $m$ — искомая масса капли; $g = 10\ \text{м/с}^2$ — ускорение свободного падения.

Капля движется с постоянной скоростью, следовательно, её ускорение равно нулю, и по второму закону Ньютона векторная сумма действующих на неё сил равна нулю. Влиянием воздуха пренебрегаем, поэтому на каплю действуют только сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила со стороны электрического поля $\vec{F} = q\vec{E}$.

Верхняя пластина заряжена положительно, нижняя — отрицательно, поэтому вектор напряжённости $\vec{E}$ внутри конденсатора направлен вертикально вниз. Заряд капли отрицателен $(q \lt 0)$, значит действующая на неё электрическая сила направлена противоположно полю, то есть вертикально вверх, и способна уравновесить силу тяжести.

Условие равенства нулю равнодействующей в проекции на вертикальную ось:

$$|q|E = mg.$$

Конденсатор плоский и «большой по размерам», поэтому поле между пластинами можно считать однородным, а его напряжённость связана с напряжением соотношением

$$E = \frac{U}{d} = \frac{10^4\ \text{В}}{0{,}02\ \text{м}} = 5\cdot 10^5\ \frac{\text{В}}{\text{м}}.$$

Отсюда искомая масса

$$m = \frac{|q|E}{g} = \frac{|q|U}{gd}.$$

Подставляем числовые значения:

$$m = \frac{8\cdot 10^{-11}\ \text{Кл}\cdot 10^{4}\ \text{В}}{10\ \text{м/с}^2\cdot 0{,}02\ \text{м}} = \frac{8\cdot 10^{-7}}{0{,}2}\ \text{кг} = 4\cdot 10^{-6}\ \text{кг}.$$

Проверка правдоподобия: масса порядка $4$ мг отвечает капле воды радиусом около $1$ мм, что вполне реально.

Ответ: $m = \dfrac{|q|U}{gd} = 4\cdot 10^{-6}\ \text{кг} = 4\ \text{мг}$.