Задание №23 — Уравнение теплового баланса

Решение:

Обозначения. $m_{\text{л}} = 5\ \text{г} = 5\cdot 10^{-3}\ \text{кг}$ — масса льда, $m_{\text{в}} = 50\ \text{г}$ — масса воды, $t_0 = 0\ {}^\circ\text{С}$ — начальная температура содержимого калориметра, $T = 339\ \text{К}$ — начальная температура болта, $t = T - 273 = 66\ {}^\circ\text{С}$ — та же температура по шкале Цельсия, $c = 500\ \dfrac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot{}^\circ\text{С}}$ — удельная теплоёмкость материала болта, $\lambda = 3{,}3\cdot 10^{5}\ \dfrac{\text{Дж}}{\text{кг}}$ — удельная теплота плавления льда, $M$ — искомая минимальная масса болта.

Вода и лёд находятся в тепловом равновесии, значит их общая температура равна температуре плавления льда: $t_0 = 0\ {}^\circ\text{С}$.

Масса болта минимальна тогда, когда отданной им теплоты хватает ровно на то, чтобы расплавить весь лёд, а конечная температура смеси остаётся равной $0\ {}^\circ\text{С}$. При этом вода в калориметре не нагревается, и её масса в расчёт не входит.

Болт остывает от $t$ до $0\ {}^\circ\text{С}$ и отдаёт количество теплоты

$$Q_{\text{отд}} = cM\,(t - t_0).$$

Лёд плавится при постоянной температуре и поглощает количество теплоты

$$Q_{\text{погл}} = \lambda m_{\text{л}}.$$

Калориметр теплоизолирован, поэтому уравнение теплового баланса имеет вид $Q_{\text{отд}} = Q_{\text{погл}}$:

$$cM\,(t - t_0) = \lambda m_{\text{л}} \quad\Rightarrow\quad M = \frac{\lambda m_{\text{л}}}{c\,(t - t_0)}.$$

Численно:

$$M = \frac{3{,}3\cdot 10^{5}\ \text{Дж/кг}\cdot 5\cdot 10^{-3}\ \text{кг}}{500\ \dfrac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot{}^\circ\text{С}}\cdot 66\ {}^\circ\text{С}} = \frac{1650\ \text{Дж}}{33\,000\ \text{Дж/кг}} = 0{,}05\ \text{кг} = 50\ \text{г}.$$

При меньшей массе болта выделившейся теплоты не хватит на плавление всего льда, при большей — лёд растает и вода ещё нагреется выше $0\ {}^\circ\text{С}$.

Ответ: $M = 0{,}05\ \text{кг} = 50\ \text{г}$.