Задание №23 — Количество теплоты. Фазовые переходы

Решение:

Обозначения. $m_1$ — масса воды, налитой в термос; $t_1 = 50\ ^\circ\text{С}$ — её начальная температура; $t_0 = 0\ ^\circ\text{С}$ — начальная температура льда; $\Delta m = 210\ \text{г} = 0{,}21\ \text{кг}$ — масса растаявшего льда; $m$ — искомая масса воды в термосе после установления теплового равновесия; $c = 4200\ \text{Дж/(кг}\cdot\text{К)}$ — удельная теплоёмкость воды; $\lambda = 3{,}3\cdot 10^5\ \text{Дж/кг}$ — удельная теплота плавления льда.

По условию растаяла лишь часть льда, то есть в состоянии теплового равновесия в термосе одновременно присутствуют лёд и вода. Такое возможно только при температуре плавления льда, поэтому равновесная температура смеси

$$t = 0\ ^\circ\text{С} = t_0 .$$

Теплоёмкостью термоса и теплообменом с окружающей средой пренебрегаем, значит система теплоизолирована и справедливо уравнение теплового баланса: количество теплоты, отданное остывающей водой, равно количеству теплоты, полученному тающим льдом.

Вода остывает от $t_1$ до $t_0$ и отдаёт

$$Q_1 = c\,m_1\,(t_1 - t_0).$$

Лёд при температуре $0\ ^\circ\text{С}$ не нагревается, а только плавится; на плавление массы $\Delta m$ идёт

$$Q_2 = \lambda\,\Delta m .$$

Уравнение теплового баланса $Q_1 = Q_2$ даёт

$$c\,m_1\,(t_1 - t_0) = \lambda\,\Delta m \quad \Rightarrow \quad m_1 = \frac{\lambda\,\Delta m}{c\,(t_1 - t_0)}.$$

Подставляем числа:

$$m_1 = \frac{3{,}3\cdot 10^5\ \text{Дж/кг}\cdot 0{,}21\ \text{кг}}{4200\ \text{Дж/(кг}\cdot\text{К)}\cdot 50\ \text{К}} = \frac{69\,300}{210\,000}\ \text{кг} = 0{,}33\ \text{кг}.$$

После установления равновесия вода в термосе — это первоначальная вода плюс вода, образовавшаяся из растаявшего льда:

$$m = m_1 + \Delta m = 0{,}33\ \text{кг} + 0{,}21\ \text{кг} = 0{,}54\ \text{кг}.$$

Ответ: $m = m_1 + \Delta m = \dfrac{\lambda\,\Delta m}{c\,(t_1 - t_0)} + \Delta m = 0{,}54\ \text{кг} = 540\ \text{г}$.