Задание №23 — Уравнение теплового баланса

Решение:

Обозначения. $m_{\text{л}} = 5\ \text{г} = 5\cdot 10^{-3}\ \text{кг}$ — масса льда, $m_{\text{в}} = 50\ \text{г}$ — масса воды, $t_0 = 0\ {}^\circ\text{С}$ — начальная температура содержимого калориметра, $M = 50\ \text{г} = 0{,}05\ \text{кг}$ — масса болта, $T = 339\ \text{К}$ — начальная температура болта, $t = T - 273 = 66\ {}^\circ\text{С}$ — та же температура по шкале Цельсия, $\lambda = 3{,}3\cdot 10^{5}\ \dfrac{\text{Дж}}{\text{кг}}$ — удельная теплота плавления льда, $c$ — искомая минимальная удельная теплоёмкость материала болта.

Вода и лёд находятся в тепловом равновесии, значит их общая температура равна температуре плавления льда: $t_0 = 0\ {}^\circ\text{С}$.

Теплоёмкость минимальна тогда, когда отданной болтом теплоты хватает ровно на плавление всего льда, а конечная температура смеси остаётся равной $0\ {}^\circ\text{С}$. При этом вода не нагревается, и её масса в расчёт не входит.

Болт остывает от $t$ до $0\ {}^\circ\text{С}$ и отдаёт количество теплоты

$$Q_{\text{отд}} = cM\,(t - t_0).$$

Лёд плавится при постоянной температуре и поглощает количество теплоты

$$Q_{\text{погл}} = \lambda m_{\text{л}}.$$

Калориметр теплоизолирован, поэтому уравнение теплового баланса имеет вид $Q_{\text{отд}} = Q_{\text{погл}}$:

$$cM\,(t - t_0) = \lambda m_{\text{л}} \quad\Rightarrow\quad c = \frac{\lambda m_{\text{л}}}{M\,(t - t_0)}.$$

Численно:

$$c = \frac{3{,}3\cdot 10^{5}\ \text{Дж/кг}\cdot 5\cdot 10^{-3}\ \text{кг}}{0{,}05\ \text{кг}\cdot 66\ {}^\circ\text{С}} = \frac{1650\ \text{Дж}}{3{,}3\ \text{кг}\cdot{}^\circ\text{С}} = 500\ \frac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot{}^\circ\text{С}}.$$

Полученное значение правдоподобно: такой удельной теплоёмкостью обладает, например, сталь.

Ответ: $c = 500\ \dfrac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot{}^\circ\text{С}}$.