Задание №23 — Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта

Решение:

Обозначения. $A_\text{вых}$ — работа выхода электрона из металла; $\lambda_\text{кр}$ — длина волны, отвечающая «красной границе» фотоэффекта; $\lambda_1 = \dfrac{\lambda_\text{кр}}{3}$ — длина волны падающего света в первом случае; $\lambda_2 = 1{,}5\lambda_1$ — во втором; $E_1$ и $E_2$ — максимальные кинетические энергии фотоэлектронов в первом и втором случаях; $h$ — постоянная Планка, $c$ — скорость света в вакууме.

«Красная граница» фотоэффекта — это наибольшая длина волны, при которой фотоэффект ещё возможен; ей отвечает равенство энергии фотона работе выхода:

$$A_\text{вых} = \frac{hc}{\lambda_\text{кр}} .$$

Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов находится из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта:

$$\frac{hc}{\lambda} = A_\text{вых} + E_\text{к,макс} \quad \Rightarrow \quad E_\text{к,макс} = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_\text{кр}} .$$

Первый случай: $\lambda_1 = \dfrac{\lambda_\text{кр}}{3}$, поэтому

$$E_1 = \frac{3hc}{\lambda_\text{кр}} - \frac{hc}{\lambda_\text{кр}} = \frac{2hc}{\lambda_\text{кр}} .$$

Второй случай: длину волны увеличили в $1{,}5$ раза, то есть

$$\lambda_2 = 1{,}5\,\lambda_1 = 1{,}5\cdot\frac{\lambda_\text{кр}}{3} = \frac{\lambda_\text{кр}}{2} .$$

Так как $\lambda_2 \lt \lambda_\text{кр}$, фотоэффект по-прежнему происходит, и

$$E_2 = \frac{2hc}{\lambda_\text{кр}} - \frac{hc}{\lambda_\text{кр}} = \frac{hc}{\lambda_\text{кр}} .$$

Искомое отношение:

$$\frac{E_1}{E_2} = \frac{2hc/\lambda_\text{кр}}{hc/\lambda_\text{кр}} = 2 .$$

Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов уменьшится в 2 раза.

Ответ: в $2$ раза.