Задание №23 — Энергия поля конденсатора

Решение:

Обозначения. $d = 2\ \text{см} = 0{,}02\ \text{м}$ — расстояние между пластинами, $U = 10\ \text{кВ} = 10^{4}\ \text{В}$ — напряжение на конденсаторе, $m = 5\ \text{мг} = 5\cdot 10^{-6}\ \text{кг}$ — масса капли, $q$ — заряд капли, $E$ — модуль напряжённости поля между пластинами, $g = 10\ \text{м/с}^2$ — ускорение свободного падения.

На каплю действуют две силы: сила тяжести $m\vec g$, направленная вертикально вниз, и электрическая сила $\vec F_{\text{эл}}$ со стороны поля конденсатора. Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Скорость капли постоянна, значит её ускорение равно нулю, и по первому закону Ньютона равнодействующая сил равна нулю:

$$m\vec g + \vec F_{\text{эл}} = \vec 0 .$$

Следовательно, электрическая сила направлена вертикально вверх и равна по модулю силе тяжести:

$$F_{\text{эл}} = |q|E = mg .$$

Конденсатор плоский и «большой по размерам», поэтому поле между пластинами однородно, и связь напряжения с напряжённостью имеет вид

$$E = \frac{U}{d}.$$

Отсюда

$$|q| = \frac{mg}{E} = \frac{mgd}{U}.$$

Численно:

$$|q| = \frac{5\cdot 10^{-6}\ \text{кг}\cdot 10\ \text{м/с}^2\cdot 0{,}02\ \text{м}}{10^{4}\ \text{В}} = 1\cdot 10^{-10}\ \text{Кл}.$$

Определим знак заряда. Верхняя пластина заряжена положительно, нижняя — отрицательно, поэтому вектор напряжённости $\vec E$ между пластинами направлен вниз (от «плюса» к «минусу»). Чтобы сила $\vec F_{\text{эл}} = q\vec E$ была направлена вверх, заряд капли должен быть отрицательным.

Проверка порядка величины: напряжённость поля $E = \dfrac{10^{4}\ \text{В}}{0{,}02\ \text{м}} = 5\cdot 10^{5}\ \text{В/м}$, сила тяжести $mg = 5\cdot 10^{-5}\ \text{Н}$, и действительно $\dfrac{5\cdot 10^{-5}}{5\cdot 10^{5}} = 10^{-10}\ \text{Кл}$.

Ответ: $|q| = 1\cdot 10^{-10}\ \text{Кл} = 0{,}1\ \text{нКл}$; заряд капли отрицательный, то есть $q = -1\cdot 10^{-10}\ \text{Кл}$.