Задание №23 — Первое начало термодинамики

Решение:

Обозначения. $m = 8\ \text{г} = 8\cdot 10^{-3}\ \text{кг}$ — масса гелия, $M = 4\cdot 10^{-3}\ \dfrac{\text{кг}}{\text{моль}}$ — молярная масса гелия, $\nu = \dfrac{m}{M}$ — количество вещества, $p$ — постоянное давление газа, $\Delta V$ — изменение объёма, $\Delta T$ — изменение температуры, $R = 8{,}31\ \dfrac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot\text{К}}$ — универсальная газовая постоянная, $A_{\text{вн}} = 1600\ \text{Дж}$ — работа внешних сил над газом, $A_{\text{г}}$ — работа самого газа, $\Delta U$ — изменение внутренней энергии газа, $Q$ — количество теплоты, полученное газом.

Гелий — одноатомный идеальный газ, поэтому его внутренняя энергия и её изменение равны

$$U = \frac{3}{2}\,\nu R T,\qquad \Delta U = \frac{3}{2}\,\nu R\,\Delta T .$$

Процесс изобарный, поэтому работа газа

$$A_{\text{г}} = p\,\Delta V = \nu R\,\Delta T .$$

Газ сжимают, значит его объём уменьшается и сам газ совершает отрицательную работу, равную по модулю работе внешних сил:

$$A_{\text{г}} = -A_{\text{вн}} = -1600\ \text{Дж}\quad\Rightarrow\quad \nu R\,\Delta T = -1600\ \text{Дж}.$$

Тогда изменение внутренней энергии

$$\Delta U = \frac{3}{2}\,\nu R\,\Delta T = \frac{3}{2}\cdot(-1600\ \text{Дж}) = -2400\ \text{Дж}.$$

Первый закон термодинамики для газа: $Q = \Delta U + A_{\text{г}}$. Подставляем:

$$Q = -2400\ \text{Дж} + (-1600\ \text{Дж}) = -4000\ \text{Дж}.$$

Знак «минус» означает, что газ не получил, а отдал теплоту окружающим телам: $|Q| = 4000\ \text{Дж} = 4\ \text{кДж}$.

Тот же результат сразу даёт формула для изобарного процесса с одноатомным газом: $Q = \dfrac{5}{2}\,\nu R\,\Delta T = \dfrac{5}{2}\cdot(-1600\ \text{Дж}) = -4000\ \text{Дж}$.

Заметим, что модуль ответа $|Q| = \dfrac{5}{2}A_{\text{вн}}$ не зависит от массы газа; масса нужна лишь для того, чтобы убедиться, что газ одноатомный и что количество вещества $\nu = \dfrac{8\ \text{г}}{4\ \text{г/моль}} = 2\ \text{моль}$ (при этом газ охладился на $\Delta T = \dfrac{-1600\ \text{Дж}}{2\cdot 8{,}31\ \text{Дж/К}} \approx -96\ \text{К}$).

Ответ: газ передал окружающим телам $|Q| = 4000\ \text{Дж} = 4\ \text{кДж}$ теплоты.