Задание №23 — Волновая оптика. Дифракционная решётка

Решение:

Обозначения. $N = 300$ — число штрихов на $1\ \text{мм}$ решётки, $d$ — период (постоянная) решётки, $\nu = 5{,}6\cdot 10^{14}\ \text{Гц}$ — частота света, $\lambda$ — длина волны света, $c = 3\cdot 10^{8}\ \text{м/с}$ — скорость света, $k$ — порядок дифракционного максимума, $\varphi$ — угол дифракции.

Период решётки — расстояние между соседними штрихами:

$$d = \frac{1\ \text{мм}}{N} = \frac{10^{-3}\ \text{м}}{300} \approx 3{,}33\cdot 10^{-6}\ \text{м}.$$

Длина волны света связана с частотой формулой $\lambda = \dfrac{c}{\nu}$:

$$\lambda = \frac{3\cdot 10^{8}\ \text{м/с}}{5{,}6\cdot 10^{14}\ \text{Гц}} \approx 5{,}36\cdot 10^{-7}\ \text{м}.$$

Условие главных максимумов дифракционной решётки при нормальном падении света:

$$d\sin\varphi = k\lambda ,\qquad k = 0,\,1,\,2,\,\ldots$$

Максимум порядка $k$ можно наблюдать только тогда, когда существует соответствующий угол $\varphi$, то есть

$$\sin\varphi = \frac{k\lambda}{d} \le 1 \quad\Rightarrow\quad k \le \frac{d}{\lambda} = \frac{d\,\nu}{c}.$$

Численно:

$$\frac{d}{\lambda} = \frac{3{,}33\cdot 10^{-6}\ \text{м}}{5{,}36\cdot 10^{-7}\ \text{м}} \approx 6{,}2 ,$$

или сразу через частоту: $\dfrac{d\nu}{c} = \dfrac{3{,}33\cdot 10^{-6}\cdot 5{,}6\cdot 10^{14}}{3\cdot 10^{8}} \approx 6{,}2$.

Так как порядок максимума — целое число, наибольшее возможное значение $k_{\max} = 6$ (при $k = 7$ получилось бы $\sin\varphi \gt 1$, что невозможно). Проверка: при $k = 6$ имеем $\sin\varphi = \dfrac{6\cdot 5{,}36\cdot 10^{-7}}{3{,}33\cdot 10^{-6}} \approx 0{,}96 \lt 1$.

Ответ: $k_{\max} = 6$.