Задание №21 — Электромагнитные колебания. Колебательный контур

#67730Задание №21ФИПИ

Электрическое поле. Его действие на электрические зарядыНапряжённость электрического поля

Маленький незаряженный шарик, подвешенный на непроводящей нити, помещён над горизонтальной диэлектрической пластиной, равномерно заряженной положительным зарядом. Размеры пластины во много раз превышают длину нити. Опираясь на законы механики и электродинамики, объясните, как изменится частота малых свободных колебаний шарика, если ему сообщить отрицательный заряд.

Ваше решениедо 3 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение:

Обозначения. $m$ — масса шарика; $L$ — длина нити; $q$ — модуль сообщённого шарику отрицательного заряда; $\sigma$ — поверхностная плотность заряда пластины; $E$ — модуль напряжённости создаваемого пластиной поля; $\varepsilon_0$ — электрическая постоянная; $g$ — ускорение свободного падения; $\nu_0$ и $\nu$ — частоты малых свободных колебаний шарика до и после сообщения ему заряда.

Используемые законы и явления.

1. Пластина — диэлектрик, заряженный равномерно, поэтому её заряд не перераспределяется при появлении заряда на шарике. Размеры пластины во много раз больше длины нити, значит, в области движения шарика её можно считать бесконечной равномерно заряженной плоскостью, создающей однородное электростатическое поле

$E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = \text{const},$

направленное перпендикулярно пластине от неё; так как пластина заряжена положительно, над пластиной вектор $\vec E$ направлен вертикально вверх.

2. Незаряженный шарик на лёгкой нити — математический маятник, частота его малых свободных колебаний

$\nu_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{L}}.$

3. После сообщения шарику отрицательного заряда на него со стороны поля пластины действует сила $F_{\text{эл}} = qE$ , направленная противоположно $\vec E$ , то есть вертикально вниз, к пластине (разноимённые заряды притягиваются). Поле однородно, поэтому эта сила постоянна по модулю и направлению и складывается с силой тяжести; движение шарика остаётся малыми гармоническими колебаниями математического маятника, но с увеличенным эффективным ускорением

$g_{\text{эф}} = g + \frac{qE}{m} \gt g.$

Нить непроводящая, поэтому заряд с шарика не стекает и остаётся постоянным во время колебаний.

4. Тогда частота колебаний

$\nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g_{\text{эф}}}{L}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g + \dfrac{qE}{m}}{L}} \gt \nu_0,$

так как частота пропорциональна $\sqrt{g_{\text{эф}}}$ , а $g_{\text{эф}}$ возросло.

Ответ: частота малых свободных колебаний увеличится. Однородное поле положительно заряженной пластины над ней направлено вверх, поэтому на отрицательно заряженный шарик действует дополнительная постоянная сила, направленная вниз (притяжение к пластине). Она увеличивает эффективное ускорение $g_{\text{эф}} = g + qE/m$ , а частота $\nu = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{g_{\text{эф}}/L}$ при этом возрастает (период, соответственно, уменьшается).