Задание №21 — Электромагнитные колебания. Колебательный контур

Решение:

Обозначения. $m$ — масса шарика; $L$ — длина нити; $q$ — модуль сообщённого шарику отрицательного заряда; $\sigma$ — поверхностная плотность заряда пластины; $E$ — модуль напряжённости создаваемого пластиной поля; $\varepsilon_0$ — электрическая постоянная; $g$ — ускорение свободного падения; $\nu_0$ и $\nu$ — частоты малых свободных колебаний шарика до и после сообщения ему заряда.

Используемые законы и явления.

1. Пластина — диэлектрик, заряженный равномерно, поэтому её заряд не перераспределяется при появлении заряда на шарике. Размеры пластины во много раз больше длины нити, значит, в области движения шарика её можно считать бесконечной равномерно заряженной плоскостью, создающей однородное электростатическое поле

$$E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = \text{const},$$

направленное перпендикулярно пластине от неё; так как пластина заряжена положительно, над пластиной вектор $\vec E$ направлен вертикально вверх.

2. Незаряженный шарик на лёгкой нити — математический маятник, частота его малых свободных колебаний

$$\nu_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{L}}.$$

3. После сообщения шарику отрицательного заряда на него со стороны поля пластины действует сила $F_{\text{эл}} = qE$, направленная противоположно $\vec E$, то есть вертикально вниз, к пластине (разноимённые заряды притягиваются). Поле однородно, поэтому эта сила постоянна по модулю и направлению и складывается с силой тяжести; движение шарика остаётся малыми гармоническими колебаниями математического маятника, но с увеличенным эффективным ускорением

$$g_{\text{эф}} = g + \frac{qE}{m} \gt g.$$

Нить непроводящая, поэтому заряд с шарика не стекает и остаётся постоянным во время колебаний.

4. Тогда частота колебаний

$$\nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g_{\text{эф}}}{L}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g + \dfrac{qE}{m}}{L}} \gt \nu_0,$$

так как частота пропорциональна $\sqrt{g_{\text{эф}}}$, а $g_{\text{эф}}$ возросло.

Ответ: частота малых свободных колебаний увеличится. Однородное поле положительно заряженной пластины над ней направлено вверх, поэтому на отрицательно заряженный шарик действует дополнительная постоянная сила, направленная вниз (притяжение к пластине). Она увеличивает эффективное ускорение $g_{\text{эф}} = g + qE/m$, а частота $\nu = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{g_{\text{эф}}/L}$ при этом возрастает (период, соответственно, уменьшается).