Задание №21 — Электромагнитные колебания. Колебательный контур

Решение:

Обозначения. $m$ — масса шарика; $L$ — длина нити; $q$ — модуль сообщённого шарику отрицательного заряда; $\sigma$ — поверхностная плотность заряда пластины; $E$ — модуль напряжённости поля пластины; $\varepsilon_0$ — электрическая постоянная; $g$ — ускорение свободного падения; $T_0$ и $T$ — периоды малых свободных колебаний шарика до и после сообщения ему заряда.

Используемые законы и явления.

1. Пластина — диэлектрик, заряженный равномерно, поэтому её заряд не перераспределяется при приближении заряженного шарика. Размеры пластины во много раз больше длины нити, значит, в той небольшой области, где движется шарик, пластину можно считать бесконечной равномерно заряженной плоскостью. Такая плоскость создаёт однородное электростатическое поле

$$E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = \text{const},$$

направленное перпендикулярно пластине; так как пластина заряжена положительно, над ней вектор $\vec E$ направлен вертикально вверх, от пластины.

2. Незаряженный шарик на лёгкой нити — математический маятник. Период его малых свободных колебаний

$$T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}.$$

3. Если шарику сообщить отрицательный заряд, то со стороны поля пластины на него будет действовать кулоновская сила $F_{\text{эл}} = qE$, направленная противоположно вектору $\vec E$, то есть вертикально вниз, к пластине (разноимённые заряды притягиваются). Эта сила постоянна и по модулю, и по направлению (поле однородно), поэтому её можно объединить с силой тяжести: на шарик действует постоянная «эффективная» сила тяжести

$$F_{\text{эф}} = mg + qE = mg_{\text{эф}}, \qquad g_{\text{эф}} = g + \frac{qE}{m} \gt g.$$

Нить непроводящая, поэтому заряд с шарика не стекает, и в ходе колебаний $q$ остаётся неизменным. Колебания по-прежнему остаются малыми гармоническими колебаниями математического маятника, только с изменённым эффективным ускорением:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g_{\text{эф}}}} = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g + \dfrac{qE}{m}}}.$$

4. Так как $g_{\text{эф}} \gt g$, а период обратно пропорционален $\sqrt{g_{\text{эф}}}$, получаем $T \lt T_0$.

Ответ: период малых свободных колебаний уменьшится. Причина: однородное поле положительно заряженной пластины направлено над ней вверх, поэтому на отрицательно заряженный шарик действует дополнительная постоянная сила, направленная вниз (притяжение к пластине); она увеличивает эффективное ускорение $g_{\text{эф}} = g + qE/m$, а период $T = 2\pi\sqrt{L/g_{\text{эф}}}$ при этом убывает.