Задание №21 — Электромагнитные колебания. Колебательный контур

#67875Задание №21ФИПИ

Электрическое поле. Его действие на электрические зарядыНапряжённость электрического поля

Маленький незаряженный шарик, подвешенный на непроводящей нити, помещён над горизонтальной диэлектрической пластиной, равномерно заряженной положительным зарядом. Размеры пластины во много раз превышают длину нити. Опираясь на законы механики и электродинамики, объясните, как изменится период малых свободных колебаний шарика, если ему сообщить отрицательный заряд.

Ваше решениедо 3 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение:

Обозначения. $m$ — масса шарика; $L$ — длина нити; $q$ — модуль сообщённого шарику отрицательного заряда; $\sigma$ — поверхностная плотность заряда пластины; $E$ — модуль напряжённости поля пластины; $\varepsilon_0$ — электрическая постоянная; $g$ — ускорение свободного падения; $T_0$ и $T$ — периоды малых свободных колебаний шарика до и после сообщения ему заряда.

Используемые законы и явления.

1. Пластина — диэлектрик, заряженный равномерно, поэтому её заряд не перераспределяется при приближении заряженного шарика. Размеры пластины во много раз больше длины нити, значит, в той небольшой области, где движется шарик, пластину можно считать бесконечной равномерно заряженной плоскостью. Такая плоскость создаёт однородное электростатическое поле

$E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = \text{const},$

направленное перпендикулярно пластине; так как пластина заряжена положительно, над ней вектор $\vec E$ направлен вертикально вверх, от пластины.

2. Незаряженный шарик на лёгкой нити — математический маятник. Период его малых свободных колебаний

$T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}.$

3. Если шарику сообщить отрицательный заряд, то со стороны поля пластины на него будет действовать кулоновская сила $F_{\text{эл}} = qE$ , направленная противоположно вектору $\vec E$ , то есть вертикально вниз, к пластине (разноимённые заряды притягиваются). Эта сила постоянна и по модулю, и по направлению (поле однородно), поэтому её можно объединить с силой тяжести: на шарик действует постоянная «эффективная» сила тяжести

$F_{\text{эф}} = mg + qE = mg_{\text{эф}}, \qquad g_{\text{эф}} = g + \frac{qE}{m} \gt g.$

Нить непроводящая, поэтому заряд с шарика не стекает, и в ходе колебаний $q$ остаётся неизменным. Колебания по-прежнему остаются малыми гармоническими колебаниями математического маятника, только с изменённым эффективным ускорением:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g_{\text{эф}}}} = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g + \dfrac{qE}{m}}}.$

4. Так как $g_{\text{эф}} \gt g$ , а период обратно пропорционален $\sqrt{g_{\text{эф}}}$ , получаем $T \lt T_0$ .

Ответ: период малых свободных колебаний уменьшится. Причина: однородное поле положительно заряженной пластины направлено над ней вверх, поэтому на отрицательно заряженный шарик действует дополнительная постоянная сила, направленная вниз (притяжение к пластине); она увеличивает эффективное ускорение $g_{\text{эф}} = g + qE/m$ , а период $T = 2\pi\sqrt{L/g_{\text{эф}}}$ при этом убывает.