Задание №21 — Электростатическое поле точечного заряда

Решение:

Обозначения. $q \lt 0$ — точечный заряд в центре полости, $|q|$ — его модуль; $\vec E$ — напряжённость электростатического поля; полость сферическая, заряд помещён в её центр; шар металлический (проводник) и в целом не заряжен.

Используемые закономерности. Закон Кулона и принцип суперпозиции полей; условие электростатического равновесия зарядов в проводнике; теорема Гаусса; закон сохранения электрического заряда; линии напряжённости перпендикулярны поверхности проводника, так как она эквипотенциальна.

1. Поле внутри полости. Отрицательный заряд отталкивает свободные электроны проводника от стенки полости, поэтому на поверхности полости появляется индуцированный положительный заряд $+|q|$. Полость шарообразная, заряд находится в её центре, значит, индуцированный заряд распределён по стенке полости равномерно, а поле равномерно заряженной сферы внутри неё равно нулю (следствие теоремы Гаусса). По принципу суперпозиции поле в полости — это поле одного лишь точечного заряда:

$$E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{|q|}{r^2}.$$

Картина линий: восемь прямых радиальных лучей, проведённых через $45^\circ$ друг от друга; они начинаются на стенке полости (перпендикулярно ей) и сходятся к заряду, стрелки направлены к заряду $q$, так как линии напряжённости оканчиваются на отрицательном заряде.

2. Поле внутри металла. В проводнике в состоянии электростатического равновесия поле отсутствует: при $\vec E \ne 0$ свободные электроны пришли бы в направленное движение, и их перераспределение продолжалось бы до полной компенсации поля внутри металла. Поэтому в толще металла пишем

$$\vec E = 0$$

и линий не рисуем.

3. Поле снаружи шара. Шар не заряжен, а на стенке полости появился заряд $+|q|$; по закону сохранения заряда на внешней поверхности шара оказывается заряд $-|q|$. Поле в толще металла равно нулю, поэтому распределение заряда по внешней поверхности не зависит ни от того, где расположена полость (в данном случае — в левой половине шара), ни от того, где внутри неё находится заряд: оно определяется только формой внешней поверхности. Эта поверхность — сфера, поэтому заряд $-|q|$ распределён по ней равномерно, и поле снаружи совпадает с полем точечного заряда $-|q|$, помещённого в центр шара:

$$E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{|q|}{R^2},$$

где $R$ — расстояние от центра шара до точки наблюдения.

Картина линий: восемь прямых радиальных лучей вне шара, углы между соседними $45^\circ$; они подходят к поверхности шара перпендикулярно и оканчиваются на ней, стрелки направлены к шару (внутрь, к его центру).

Ответ: внутри полости — кулоновское поле точечного заряда: восемь радиальных линий, начинающихся на стенке полости и направленных к заряду $q$. Внутри проводника $\vec E = 0$ (линий нет). Снаружи — поле, тождественное полю точечного заряда $-|q|$ в центре шара: восемь радиальных линий, подходящих к поверхности шара перпендикулярно ей и направленных к шару.