Задание №21 — Внутренняя энергия идеального газа

Решение:

Обозначения. $p$ — давление газа, $\rho=\dfrac{m}{V}$ — его плотность, $V$ — объём, $m$ — масса газа (постоянна), $M$ — молярная масса, $\nu=\dfrac{m}{M}$ — количество вещества, $T$ — абсолютная температура, $R$ — универсальная газовая постоянная, $U$ — внутренняя энергия газа, $A$ — работа, совершённая газом, $Q$ — количество теплоты, полученное газом.

Связь температуры с координатами графика. Уравнение Менделеева — Клапейрона: $pV=\dfrac{m}{M}RT$. Так как $V=\dfrac{m}{\rho}$, получаем $p\dfrac{m}{\rho}=\dfrac{m}{M}RT$, откуда

$$\frac{p}{\rho}=\frac{R}{M}T\qquad\Rightarrow\qquad T=\frac{M}{R}\cdot\frac{p}{\rho}.$$

Значит, температура пропорциональна отношению $\dfrac{p}{\rho}$, то есть тангенсу угла наклона прямой, проведённой из начала координат в изображающую точку.

Процесс 1–2. Точки 1 и 2 лежат на одной прямой, проходящей через начало координат (её продолжение показано пунктиром), поэтому $\dfrac{p}{\rho}=\text{const}$, а значит $T=\text{const}$ — процесс изотермический. Плотность при этом растёт, следовательно объём $V=\dfrac{m}{\rho}$ уменьшается: газ изотермически сжимается.

Внутренняя энергия одноатомного идеального газа $U=\dfrac{3}{2}\nu RT$ зависит только от температуры, поэтому $\Delta U_{12}=0$. При сжатии объём убывает, и работа газа отрицательна: $A_{12}\lt 0$ (работу над газом совершают внешние силы). По первому закону термодинамики

$$Q_{12}=\Delta U_{12}+A_{12}=A_{12}\lt 0,$$

то есть в процессе 1–2 газ отдаёт теплоту.

Процесс 2–3. Отрезок 2–3 вертикален, значит плотность постоянна: $\rho=\text{const}$, а вместе с ней постоянен и объём $V=\dfrac{m}{\rho}=\text{const}$ — процесс изохорный. Давление растёт, поэтому по формуле $T=\dfrac{M}{R}\cdot\dfrac{p}{\rho}$ растёт и температура.

При $V=\text{const}$ газ работы не совершает: $A_{23}=0$. Температура растёт, поэтому $\Delta U_{23}=\dfrac{3}{2}\nu R\,\Delta T_{23}\gt 0$. По первому закону термодинамики

$$Q_{23}=\Delta U_{23}+A_{23}=\Delta U_{23}\gt 0,$$

то есть в процессе 2–3 газ получает теплоту.

Использованные закономерности: уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева — Клапейрона), определение плотности, выражение внутренней энергии одноатомного идеального газа $U=\dfrac{3}{2}\nu RT$, формула работы газа при изменении объёма, первый закон термодинамики.

Ответ: в процессе 1–2 (изотермическое сжатие) газ отдаёт теплоту; в процессе 2–3 (изохорное нагревание) газ получает теплоту.