Задание №21 — Закон преломления света. Полное внутреннее отражение

Решение:

Обозначения. $n$ — показатель преломления пластинки, $d$ — её толщина, $F$ — фокусное расстояние линзы, $\alpha$ — угол падения лучей пучка на переднюю грань пластинки, $\beta$ — угол преломления в стекле, $\gamma$ — угол выхода луча из пластинки, $\Delta$ — боковое смещение луча пластинкой.

1. Плоскопараллельная пластинка не меняет направления луча. По закону преломления на первой грани $\sin\alpha=n\sin\beta$. Грани пластинки параллельны, поэтому на вторую грань луч изнутри падает под тем же углом $\beta$, и закон преломления даёт $n\sin\beta=\sin\gamma$. Отсюда $\sin\gamma=\sin\alpha$, то есть $\gamma=\alpha$: вышедший луч параллелен падающему. Пластинка лишь смещает луч параллельно самому себе на $\Delta=d\,\dfrac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos\beta}$.

2. Пучок остаётся параллельным и сохраняет направление. Пучок от удалённого источника — параллельный, поэтому все его лучи падают на пластинку под одним и тем же углом $\alpha$ и смещаются на одно и то же расстояние $\Delta$ в одну и ту же сторону. Значит, после пластинки пучок по-прежнему параллельный и идёт в прежнем направлении; изменилось лишь то, через какие участки линзы он проходит.

3. Куда собирающая линза сводит параллельный пучок. Параллельный пучок собирается тонкой линзой в одну точку задней фокальной плоскости — в точку пересечения этой плоскости с побочной оптической осью, проведённой через оптический центр линзы параллельно пучку. Положение этой точки определяется только направлением пучка и фокусным расстоянием $F$ и не зависит от того, на какие участки линзы падает пучок и какова его ширина.

4. Вывод. Направление пучка после установки пластинки не изменилось, фокусное расстояние линзы тоже, следовательно изображение остаётся в той же самой точке задней фокальной плоскости — на расстоянии $F$ от линзы. (Смещение изображения на $d\left(1-\dfrac{1}{n}\right)$ возникало бы, если бы пластинку поставили в сходящийся пучок, то есть за линзой; здесь же она стоит в параллельном пучке перед линзой.)

Рисунок (описание хода лучей). До установки пластинки: параллельный пучок идёт слева направо, наклонно вверх к главной оптической оси, и падает на линзу. Для построения удобно взять два луча пучка — луч, идущий через оптический центр линзы (он проходит без преломления), и луч, проходящий через передний фокус $F$ (после линзы он идёт параллельно главной оптической оси). Эти лучи пересекаются в точке $S$, лежащей в задней фокальной плоскости (на расстоянии $F$ справа от линзы) выше главной оптической оси; $S$ — изображение источника. После установки пластинки: каждый луч пучка, войдя в стекло, преломляется к нормали (идёт под углом $\beta\lt\alpha$), а выйдя из пластинки, снова идёт под углом $\alpha$, то есть параллельно своему первоначальному направлению, но смещённым на $\Delta$ вбок. На линзу приходит тот же по направлению параллельный пучок, и лучи после линзы сходятся в той же точке $S$.

Использованные закономерности: закон преломления света на границе двух сред, свойство плоскопараллельной пластинки (параллельность вышедшего и падающего лучей, боковое смещение), свойство собирающей линзы собирать параллельный пучок в точке фокальной плоскости, построение изображения с помощью побочной оптической оси.

Ответ: положение изображения не изменится — оно останется в той же точке задней фокальной плоскости линзы.