Задание №21 — Электростатическое поле точечного заряда

Решение:

Обозначения. $q \gt 0$ — точечный заряд в центре полости; $\vec E$ — напряжённость электростатического поля; полость сферическая, заряд помещён в её центр; шар металлический (проводник) и в целом не заряжен.

Используемые закономерности. Закон Кулона и принцип суперпозиции полей; условие электростатического равновесия зарядов в проводнике; теорема Гаусса; закон сохранения электрического заряда; свойство поверхности проводника быть эквипотенциальной (линии напряжённости подходят к ней перпендикулярно).

1. Поле внутри полости. Положительный заряд $q$ притягивает к стенке полости свободные электроны проводника: на поверхности полости появляется индуцированный заряд $-q$. Полость шарообразная, а заряд находится точно в её центре, поэтому индуцированный заряд распределяется по стенке полости равномерно. Поле равномерно заряженной сферы внутри неё равно нулю (следствие теоремы Гаусса), поэтому по принципу суперпозиции поле в полости — это поле одного лишь точечного заряда:

$$E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{q}{r^2}.$$

Картина линий: восемь прямых лучей, выходящих из заряда $q$ радиально во все стороны (через $45^\circ$ друг от друга), со стрелками, направленными от заряда (поле положительного заряда); каждый луч оканчивается на стенке полости, подходя к ней перпендикулярно.

2. Поле внутри металла. В проводнике, находящемся в электростатическом равновесии, поле отсутствует: если бы внутри металла было $\vec E \ne 0$, свободные электроны пришли бы в направленное движение (возник бы ток), и перераспределение зарядов продолжалось бы до тех пор, пока поле внутри не обратилось бы в нуль. Поэтому в толще металла пишем

$$\vec E = 0$$

и никаких линий там не рисуем.

3. Поле снаружи шара. Шар в целом не заряжен, на стенке полости появился заряд $-q$, значит, по закону сохранения заряда на внешней поверхности шара оказывается заряд $+q$. Так как поле в толще металла равно нулю, внешняя поверхность «не знает» ни о положении полости, ни о положении заряда в ней: распределение заряда по внешней поверхности определяется только её формой. Внешняя поверхность — сфера, поэтому заряд $+q$ распределён по ней равномерно, и поле снаружи совпадает с полем точечного заряда $+q$, помещённого в центр шара (а не в центр полости):

$$E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{q}{R^2},$$

где $R$ — расстояние от центра шара до точки наблюдения.

Картина линий: восемь прямых радиальных лучей, начинающихся на поверхности шара и продолжающихся до бесконечности; их продолжения внутрь сходятся в центре шара, к поверхности шара они подходят перпендикулярно, углы между соседними лучами $45^\circ$, стрелки направлены от шара (наружу).

Ответ: внутри полости — кулоновское поле точечного заряда: восемь радиальных линий, выходящих из заряда $q$ и перпендикулярно упирающихся в стенку полости. Внутри проводника $\vec E = 0$ (линий нет). Снаружи — поле, тождественное полю точечного заряда $+q$ в центре шара: восемь радиальных линий, выходящих из поверхности шара перпендикулярно ей и направленных наружу.