Задание №21 — Внутренняя энергия идеального газа

Решение:

Обозначения. По вертикальной оси отложено давление газа $p$, по горизонтальной — его плотность $\rho = m/V$; $m$ — масса газа (постоянна), $V$ — его объём, $M$ — молярная масса, $T$ — абсолютная температура, $R$ — универсальная газовая постоянная, $U$ — внутренняя энергия, $A$ — работа, совершённая газом, $Q$ — количество полученной газом теплоты.

Используемые законы. Уравнение Менделеева — Клапейрона $pV = \dfrac{m}{M}RT$. Подставив $V = m/\rho$, получаем связь температуры с координатами графика:

$$p\,\frac{m}{\rho} = \frac{m}{M}RT \quad \Rightarrow \quad \frac{p}{\rho} = \frac{RT}{M} \quad \Rightarrow \quad T = \frac{M}{R}\cdot\frac{p}{\rho}.$$

Значит, температура пропорциональна отношению $p/\rho$, то есть тангенсу угла наклона прямой, проведённой из начала координат в изображающую точку: чем «круче» эта прямая, тем выше температура, а любая прямая, проходящая через начало координат, есть изотерма.

Внутренняя энергия одноатомного идеального газа $U = \dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{m}{M}RT$ зависит только от температуры. Первый закон термодинамики: $Q = \Delta U + A$. Газ расширяется ($V$ растёт) тогда и только тогда, когда его плотность $\rho = m/V$ убывает; при расширении $A \gt 0$, при сжатии $A \lt 0$.

Процесс 1–2. Точка перемещается влево по горизонтали: давление постоянно ($p = \text{const}$, изобарный процесс), плотность убывает. Значит, объём $V = m/\rho$ увеличивается — газ расширяется и совершает положительную работу $A_{12} = p\,\Delta V \gt 0$. Из формулы $T = \dfrac{M}{R}\cdot\dfrac{p}{\rho}$ при $p = \text{const}$ и убывающей $\rho$ следует, что температура растёт, поэтому внутренняя энергия увеличивается: $\Delta U_{12} \gt 0$. По первому закону термодинамики

$$Q_{12} = \Delta U_{12} + A_{12} \gt 0,$$

то есть на участке 1–2 газ получает теплоту.

Процесс 2–3. Точка движется по отрезку прямой, продолжение которого (штриховая линия) проходит через начало координат, то есть $\dfrac{p}{\rho} = \text{const}$. Следовательно, $T = \text{const}$ — это изотермический процесс, и внутренняя энергия не меняется: $\Delta U_{23} = 0$. При переходе из состояния 2 в состояние 3 плотность убывает, значит, объём растёт, газ расширяется и совершает положительную работу $A_{23} \gt 0$. Тогда

$$Q_{23} = \Delta U_{23} + A_{23} = A_{23} \gt 0,$$

то есть и на участке 2–3 газ получает теплоту.

Ответ: в процессе 1–2 (изобарное расширение с ростом температуры) газ получает теплоту; в процессе 2–3 (изотермическое расширение, $\Delta U = 0$, $Q = A \gt 0$) газ также получает теплоту. Таким образом, на всём пути 1–2–3 газ получает положительное количество теплоты.