Задание №21 — Внутренняя энергия идеального газа

#67755Задание №21ФИПИ

Модель идеального газа в термодинамикеПервый закон термодинамики. Адиабата

Постоянное количество одноатомного идеального газа участвует в процессе, график которого изображён на рисунке в координатах р- $\rho$ , где $\rho$ — давление газа, р — плотность газа. Определите, получает газ теплоту или отдаёт в процессах 1-2 и 2-3. Ответ поясните, опираясь на законы молекулярной физики и термодинамики.

Ваше решениедо 3 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение:

Обозначения. По вертикальной оси отложено давление газа $p$ , по горизонтальной — его плотность $\rho = m/V$ ; $m$ — масса газа (постоянна), $V$ — его объём, $M$ — молярная масса, $T$ — абсолютная температура, $R$ — универсальная газовая постоянная, $U$ — внутренняя энергия, $A$ — работа, совершённая газом, $Q$ — количество полученной газом теплоты.

Используемые законы. Уравнение Менделеева — Клапейрона $pV = \dfrac{m}{M}RT$ . Подставив $V = m/\rho$ , получаем связь температуры с координатами графика:

$p\,\frac{m}{\rho} = \frac{m}{M}RT \quad \Rightarrow \quad \frac{p}{\rho} = \frac{RT}{M} \quad \Rightarrow \quad T = \frac{M}{R}\cdot\frac{p}{\rho}.$

Значит, температура пропорциональна отношению $p/\rho$ , то есть тангенсу угла наклона прямой, проведённой из начала координат в изображающую точку: чем «круче» эта прямая, тем выше температура, а любая прямая, проходящая через начало координат, есть изотерма.

Внутренняя энергия одноатомного идеального газа $U = \dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{m}{M}RT$ зависит только от температуры. Первый закон термодинамики: $Q = \Delta U + A$ . Газ расширяется ( $V$ растёт) тогда и только тогда, когда его плотность $\rho = m/V$ убывает; при расширении $A \gt 0$ , при сжатии $A \lt 0$ .

Процесс 1–2. Точка перемещается влево по горизонтали: давление постоянно ( $p = \text{const}$ , изобарный процесс), плотность убывает. Значит, объём $V = m/\rho$ увеличивается — газ расширяется и совершает положительную работу $A_{12} = p\,\Delta V \gt 0$ . Из формулы $T = \dfrac{M}{R}\cdot\dfrac{p}{\rho}$ при $p = \text{const}$ и убывающей $\rho$ следует, что температура растёт, поэтому внутренняя энергия увеличивается: $\Delta U_{12} \gt 0$ . По первому закону термодинамики

$Q_{12} = \Delta U_{12} + A_{12} \gt 0,$

то есть на участке 1–2 газ получает теплоту.

Процесс 2–3. Точка движется по отрезку прямой, продолжение которого (штриховая линия) проходит через начало координат, то есть $\dfrac{p}{\rho} = \text{const}$ . Следовательно, $T = \text{const}$ — это изотермический процесс, и внутренняя энергия не меняется: $\Delta U_{23} = 0$ . При переходе из состояния 2 в состояние 3 плотность убывает, значит, объём растёт, газ расширяется и совершает положительную работу $A_{23} \gt 0$ . Тогда

$Q_{23} = \Delta U_{23} + A_{23} = A_{23} \gt 0,$

то есть и на участке 2–3 газ получает теплоту.

Ответ: в процессе 1–2 (изобарное расширение с ростом температуры) газ получает теплоту; в процессе 2–3 (изотермическое расширение, $\Delta U = 0$ , $Q = A \gt 0$ ) газ также получает теплоту. Таким образом, на всём пути 1–2–3 газ получает положительное количество теплоты.