Задание №6 — Гармонические колебания материальной точки

Решение:

Шарик на лёгкой нерастяжимой нити при малых колебаниях — математический маятник. Его период и частота равны

$T=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}},\qquad \nu=\dfrac{1}{T}=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{g}{L}}$.

Частота зависит только от длины нити и ускорения свободного падения и не зависит от массы шарика. Длина нити не изменилась, поэтому частота не изменится — цифра 3.

Максимальная кинетическая энергия достигается в нижней точке. По закону сохранения механической энергии $\dfrac{mv_{\max}^{2}}{2}=mgh$, где $h$ — высота подъёма шарика при отклонении, определяемая амплитудой колебаний. Отсюда

$E_{k\,\max}=\dfrac{mv_{\max}^{2}}{2}=mgh$.

Амплитуда (а значит и $h$) одинакова, поэтому $E_{k\,\max}$ прямо пропорциональна массе шарика. При одинаковом диаметре объёмы шариков равны, а $m=\rho V$; плотность алюминия $\left(\approx 2700\ \text{кг/м}^{3}\right)$ меньше плотности железа $\left(\approx 7800\ \text{кг/м}^{3}\right)$, поэтому масса алюминиевого шарика меньше и максимальная кинетическая энергия уменьшится — цифра 2.

Ответ: 32