Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Дано неравенство: $(x - 9)^2 < \sqrt{3}(x - 9)$.

Шаг 1. Перенос всех слагаемых в одну часть.
Для решения неравенства перенесём выражение из правой части в левую с противоположным знаком, чтобы справа остался нуль:
$(x - 9)^2 - \sqrt{3}(x - 9) < 0$

Шаг 2. Разложение на множители.
Заметим, что в левой части есть общий множитель $(x - 9)$. Вынесем его за скобки:
$(x - 9) \cdot ((x - 9) - \sqrt{3}) < 0$
Упростим выражение во вторых скобках:
$(x - 9)(x - 9 - \sqrt{3}) < 0$

Шаг 3. Нахождение корней.
Приравняем левую часть к нулю, чтобы найти критические точки на числовой прямой:
$(x - 9)(x - 9 - \sqrt{3}) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
1) $x - 9 = 0 \Rightarrow x_1 = 9$
2) $x - 9 - \sqrt{3} = 0 \Rightarrow x_2 = 9 + \sqrt{3}$

Шаг 4. Метод интервалов.
Отметим полученные точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое (знак $<$), точки будут «выколотыми» (пустыми). Эти точки разбивают прямую на три интервала:
1) $(-\infty; 9)$
2) $(9; 9 + \sqrt{3})$
3) $(9 + \sqrt{3}; +\infty)$
Определим знак выражения $(x - 9)(x - 9 - \sqrt{3})$ на каждом интервале:
— Возьмём $x = 100$ из правого интервала: $(100-9)(100-9-\sqrt{3}) > 0$. Знак «+».
— Возьмём $x = 10$ из среднего интервала (так как $\sqrt{3} \approx 1,7$, то $9 + \sqrt{3} \approx 10,7$): $(10-9)(10-9-\sqrt{3}) = 1 \cdot (1 - \sqrt{3})$. Так как $1 < \sqrt{3}$, результат отрицательный. Знак «−».
— Возьмём $x = 0$ из левого интервала: $(0-9)(0-9-\sqrt{3}) = (-9) \cdot (-9-\sqrt{3}) > 0$. Знак «+».

Шаг 5. Выбор ответа.
Нам нужно найти значения $x$, при которых выражение меньше нуля (знак «−»). Это соответствует интервалу $(9; 9 + \sqrt{3})$.

Ответ: $(9; 9 + \sqrt{3})$

Источник: ФИПИ