Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Дано неравенство: $\frac{-10}{(x-3)^2 - 5} \ge 0$.

1. Проанализируем структуру дроби. В числителе стоит отрицательное число $-10$. Чтобы дробь была больше или равна нулю, знаменатель должен быть отрицательным, так как «минус на минус дает плюс». При этом знаменатель не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя.

2. Таким образом, исходное неравенство равносильно строгому неравенству для знаменателя:
$(x-3)^2 - 5 < 0$.

3. Решим полученное неравенство. Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Заметим, что $5 = (\sqrt{5})^2$:
$(x-3 - \sqrt{5})(x-3 + \sqrt{5}) < 0$.

4. Найдем корни уравнения $(x-3 - \sqrt{5})(x-3 + \sqrt{5}) = 0$:
$x_1 = 3 + \sqrt{5}$
$x_2 = 3 - \sqrt{5}$.

5. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала. Определим знак выражения $(x-3)^2 - 5$ на каждом из них (это парабола, ветви которой направлены вверх):
— На интервале $(-\infty; 3 - \sqrt{5})$ выражение положительно.
— На интервале $(3 - \sqrt{5}; 3 + \sqrt{5})$ выражение отрицательно.
— На интервале $(3 + \sqrt{5}; +\infty)$ выражение положительно.

6. Нам подходит интервал, где выражение меньше нуля, то есть:
$3 - \sqrt{5} < x < 3 + \sqrt{5}$.

Запишем это в виде промежутка: $(3 - \sqrt{5}; 3 + \sqrt{5})$.

Ответ: $(3 - \sqrt{5}; 3 + \sqrt{5})$

Источник: ФИПИ