Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Дано неравенство: $\frac{-10}{(x-3)^2-5} \geq 0$.

1. Проанализируем структуру дроби. В числителе стоит отрицательное число $-10$. Чтобы дробь была больше или равна нулю, знаменатель должен быть отрицательным. При этом знаменатель не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя.

2. Таким образом, исходное неравенство равносильно строгому неравенству для знаменателя:
$(x-3)^2 - 5 < 0$

3. Решим полученное неравенство. Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Заметим, что $5 = (\sqrt{5})^2$:
$(x-3 - \sqrt{5})(x-3 + \sqrt{5}) < 0$

4. Найдём корни уравнения $(x-3 - \sqrt{5})(x-3 + \sqrt{5}) = 0$:
$x_1 = 3 + \sqrt{5}$
$x_2 = 3 - \sqrt{5}$

5. Воспользуемся методом интервалов. Отметим полученные точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала. Так как перед нами квадратичная функция с положительным коэффициентом при $x^2$ (парабола ветвями вверх), выражение принимает отрицательные значения между корнями.

6. Следовательно, решением неравенства является промежуток:
$3 - \sqrt{5} < x < 3 + \sqrt{5}$

Запишем это в виде интервала: $(3 - \sqrt{5}; 3 + \sqrt{5})$.

Ответ: $(3 - \sqrt{5}; 3 + \sqrt{5})$

Источник: ФИПИ