Задание №20 — Алгебраические выражения

Решение.

Данное уравнение содержит квадратный корень, поэтому первым делом необходимо найти область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$3 - x \geq 0$
$-x \geq -3$
$x \leq 3$

Теперь перейдём к решению самого уравнения. Заметим, что в обеих частях уравнения присутствует слагаемое $\sqrt{3 - x}$. Мы можем вычесть его из обеих частей уравнения:

$x^{2} - 2x + \sqrt{3 - x} - \sqrt{3 - x} = 8$
$x^{2} - 2x = 8$

Перенесём число $8$ в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^{2} - 2x - 8 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант по формуле $D = b^{2} - 4ac$:

$D = (-2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$
$\sqrt{D} = \sqrt{36} = 6$

Найдём корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$x_{2} = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Теперь обязательно проверим полученные корни на соответствие ОДЗ ($x \leq 3$):

1) Корень $x_{1} = 4$. Проверяем: $4 \leq 3$ — это неверно. Значит, число $4$ является посторонним корнем и не подходит.
2) Корень $x_{2} = -2$. Проверяем: $-2 \leq 3$ — это верно. Корень подходит.

Таким образом, решением уравнения является только число $-2$.

Ответ: -2

Источник: ФИПИ