Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Дано неравенство: $\frac{-10}{(x-3)^2-5} \geq 0$.

1. Проанализируем структуру дроби. В числителе стоит отрицательное число $-10$. Чтобы дробь была больше или равна нулю, знаменатель должен быть отрицательным, так как «минус на минус даёт плюс». При этом знаменатель не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя.

2. Таким образом, исходное неравенство равносильно строгому неравенству для знаменателя:
$(x-3)^2 - 5 < 0$.

3. Решим полученное неравенство. Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Заметим, что $5 = (\sqrt{5})^2$:
$(x-3 - \sqrt{5})(x-3 + \sqrt{5}) < 0$.

4. Найдём корни уравнения $(x-3 - \sqrt{5})(x-3 + \sqrt{5}) = 0$:
$x_1 = 3 + \sqrt{5}$
$x_2 = 3 - \sqrt{5}$.

5. Воспользуемся методом интервалов. Отметим полученные точки на числовой прямой. Точки будут выколотыми, так как неравенство строгое.
Левая часть неравенства $(x-3)^2 - 5 < 0$ представляет собой квадратичную функцию, график которой — парабола, ветви которой направлены вверх. Значит, выражение принимает отрицательные значения между корнями.

6. Таким образом, решением неравенства является интервал:
$3 - \sqrt{5} < x < 3 + \sqrt{5}$.

Запишем это в виде промежутка: $(3 - \sqrt{5}; 3 + \sqrt{5})$.

Ответ: $(3 - \sqrt{5}; 3 + \sqrt{5})$

Источник: ФИПИ