Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Рассмотрим данную систему уравнений:
$\begin{cases} 3x^2 + 2y^2 = 50 \\ 12x^2 + 8y^2 = 50x \end{cases}$

Шаг 1. Преобразование второго уравнения.
Заметим, что в левой части второго уравнения коэффициенты при $x^2$ и $y^2$ в 4 раза больше, чем в первом уравнении. Вынесем общий множитель 4 за скобки:
$4(3x^2 + 2y^2) = 50x$

Шаг 2. Метод подстановки.
Из первого уравнения системы нам известно, что выражение $3x^2 + 2y^2$ равно 50. Подставим это значение во второе уравнение вместо выражения в скобках:
$4 \cdot 50 = 50x$
$200 = 50x$

Шаг 3. Нахождение переменной $x$.
Разделим обе части уравнения на 50:
$x = \frac{200}{50}$
$x = 4$

Шаг 4. Нахождение переменной $y$.
Подставим найденное значение $x = 4$ в первое уравнение системы:
$3 \cdot 4^2 + 2y^2 = 50$
$3 \cdot 16 + 2y^2 = 50$
$48 + 2y^2 = 50$
Перенесем 48 в правую часть:
$2y^2 = 50 - 48$
$2y^2 = 2$
Разделим на 2:
$y^2 = 1$
Отсюда получаем два возможных значения для $y$:
$y_1 = 1$
$y_2 = -1$

Шаг 5. Запись ответа.
Таким образом, система имеет две пары решений: $(4; 1)$ и $(4; -1)$.

Ответ: (4; 1), (4; -1)

Источник: ФИПИ