Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Дано неравенство: $\frac{-10}{(x-3)^2-5} \geq 0$.

1. Проанализируем структуру дроби. В числителе стоит отрицательное число $-10$. Чтобы вся дробь была больше или равна нулю, знаменатель должен быть отрицательным. При этом знаменатель не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя.

2. Таким образом, исходное неравенство равносильно строгому неравенству для знаменателя:
$(x-3)^2 - 5 < 0$

3. Решим полученное неравенство. Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Заметим, что $5 = (\sqrt{5})^2$:
$(x-3 - \sqrt{5})(x-3 + \sqrt{5}) < 0$

4. Найдём корни уравнения $(x-3 - \sqrt{5})(x-3 + \sqrt{5}) = 0$:
$x_1 = 3 + \sqrt{5}$
$x_2 = 3 - \sqrt{5}$

5. Воспользуемся методом интервалов. Нанесём найденные точки на числовую прямую. Точки будут "выколотыми", так как неравенство строгое. Эти точки разбивают прямую на три интервала:
— На интервале $(-\infty; 3-\sqrt{5})$ выражение положительно.
— На интервале $(3-\sqrt{5}; 3+\sqrt{5})$ выражение отрицательно.
— На интервале $(3+\sqrt{5}; +\infty)$ выражение положительно.

6. Нам подходит интервал, где выражение меньше нуля, то есть: $3-\sqrt{5} < x < 3+\sqrt{5}$.

Запишем это в виде промежутка: $(3-\sqrt{5}; 3+\sqrt{5})$.

Ответ: $(3-\sqrt{5}; 3+\sqrt{5})$

Источник: ФИПИ