Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Дано неравенство: $\frac{-10}{(x-3)^2-5} \geq 0$.

1. Проанализируем структуру дроби. В числителе стоит отрицательное число $-10$. Чтобы вся дробь была больше или равна нулю, знаменатель должен быть отрицательным. При этом знаменатель не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя.

2. Таким образом, исходное неравенство равносильно строгому неравенству для знаменателя:
$(x-3)^2 - 5 < 0$

3. Решим полученное неравенство. Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, представив число $5$ как $(\sqrt{5})^2$:
$(x-3 - \sqrt{5})(x-3 + \sqrt{5}) < 0$

4. Найдём корни выражения в левой части, приравняв каждую скобку к нулю:
$x - 3 - \sqrt{5} = 0 \Rightarrow x_1 = 3 + \sqrt{5}$
$x - 3 + \sqrt{5} = 0 \Rightarrow x_2 = 3 - \sqrt{5}$

5. Воспользуемся методом интервалов. Отметим полученные точки на числовой прямой. Точки будут выколотыми, так как неравенство строгое. Эти точки разбивают прямую на три интервала:
— На интервале $(-\infty; 3 - \sqrt{5})$ выражение положительно.
— На интервале $(3 - \sqrt{5}; 3 + \sqrt{5})$ выражение отрицательно.
— На интервале $(3 + \sqrt{5}; +\infty)$ выражение положительно.

6. Нам нужно найти значения $x$, при которых выражение меньше нуля. Это соответствует интервалу между корнями.

Следовательно, $x \in (3 - \sqrt{5}; 3 + \sqrt{5})$.

Ответ: $(3 - \sqrt{5}; 3 + \sqrt{5})$

Источник: ФИПИ