Задание №6 — МЕХАНИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения механической энергии. Поскольку сопротивлением воздуха можно пренебречь, полная механическая энергия мячика сохраняется на всём пути его падения.

Дано:
$v_0 = 0$ (состояние покоя)
$h_2 = 4 \cdot h_1$ (высота увеличилась в 4 раза)
Найти: $\frac{v_2}{v_1}$

Физические законы и формулы:
1) В начальный момент времени на высоте $h$ мячик обладает потенциальной энергией $E_p = m \cdot g \cdot h$. Кинетическая энергия в этот момент равна нулю, так как мячик покоится.
2) В момент удара о землю (на высоте $0$) вся потенциальная энергия переходит в кинетическую: $E_k = \frac{m \cdot v^2}{2}$.
3) Согласно закону сохранения энергии: $m \cdot g \cdot h = \frac{m \cdot v^2}{2}$.

Вывод рабочей формулы:
Из уравнения $m \cdot g \cdot h = \frac{m \cdot v^2}{2}$ выразим скорость $v$.
Масса $m$ сокращается в обеих частях уравнения:
$g \cdot h = \frac{v^2}{2}$
Отсюда $v^2 = 2 \cdot g \cdot h$, следовательно:
$v = \sqrt{2 \cdot g \cdot h}$

Расчёт:
Запишем формулы для двух случаев падения:
Для первой высоты: $v_1 = \sqrt{2 \cdot g \cdot h_1}$
Для второй высоты: $v_2 = \sqrt{2 \cdot g \cdot h_2}$
Подставим условие $h_2 = 4 \cdot h_1$ во вторую формулу:
$v_2 = \sqrt{2 \cdot g \cdot (4 \cdot h_1)} = \sqrt{4 \cdot (2 \cdot g \cdot h_1)} = 2 \cdot \sqrt{2 \cdot g \cdot h_1}$
Сравним полученные выражения:
$\frac{v_2}{v_1} = \frac{2 \cdot \sqrt{2 \cdot g \cdot h_1}}{\sqrt{2 \cdot g \cdot h_1}} = 2$

Таким образом, при увеличении высоты в 4 раза скорость мячика в момент удара увеличится в 2 раза.

Ответ: 2

Источник: ФИПИ