Разбор задачи:
Исходя из условий задачи, искомое число $N$ при делении на 3 и на 4 дает в остатке 1:
$N = 3m + 1$
$N = 4n + 1$
Это означает, что число $N$ при делении на наименьшее общее кратное чисел 3 и 4 (то есть на 12) также будет давать остаток 1.
Таким образом, общую формулу числа можно записать в виде:
$$N = 12k + 1$$ Согласно дополнительному условию, в записи числа должны использоваться только цифры от 5 до 9.
Методом подбора находим подходящее значение. Например, при $k = 47$:
$N = 12 \cdot 47 + 1 = 564 + 1 = 565$.
Данное число состоит из цифр 5 и 6, что удовлетворяет всем требованиям.

Ответ: 565

Источник: ФИПИ