Задание №19 — Свойства чисел

Разбор задачи:
Любое трёхзначное число, состоящее из идентичных цифр, можно представить в виде произведения: $aaa = a \cdot 111$.
По условию, искомое число кратно 74.
Разложим делитель на простые множители: $74 = 2 \cdot 37$.
Следовательно, наше число должно одновременно делиться и на 2, и на 37.
Заметим, что число 111 раскладывается как $3 \cdot 37$.
Отсюда следует, что $a \cdot 111 = a \cdot 3 \cdot 37$.
Это означает, что абсолютно любое трёхзначное число с одинаковыми цифрами уже делится на 37.
Чтобы выполнялось условие кратности 74, нам достаточно обеспечить делимость на 2. Для этого цифра $a$ должна быть чётной.
Выпишем возможные варианты таких чисел: 222, 444, 666, 888.
Самым маленьким среди них является 222.
Выполним проверку: $222 : 74 = 3$. Условие выполняется.

Ответ: 222

Источник: ФИПИ