Решение:
Любое трёхзначное число, состоящее из одинаковых цифр, можно представить в виде произведения: $aaa = a \cdot 111$.
По условию задачи это число должно быть кратно $74$. Разложим делитель на простые множители: $74 = 2 \cdot 37$.
Таким образом, искомое число должно одновременно делиться и на $2$, и на $37$.
Заметим, что число $111$ представляется как $3 \cdot 37$.
Отсюда следует, что $a \cdot 111 = a \cdot 3 \cdot 37$.
Это означает, что абсолютно любое трёхзначное число с одинаковыми цифрами уже делится на $37$.
Для выполнения условия кратности $74$ нам достаточно обеспечить делимость на $2$. Это возможно только в том случае, если цифра $a$ является чётной.
Выпишем все возможные варианты таких чисел: $222, 444, 666, 888$.
Среди них самым большим является $888$.
Выполним проверку: $888 : 74 = 12$. Условие выполняется.

Ответ: 888

Источник: ФИПИ