Задание 19

Задачи на свойства чисел · 76 заданий

Задание №19
№19Лёгкое
Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении и на 3, и на 4 даёт в остатке 1 и цифры в записи которого больше 4. В ответе запишите какое…
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Среднее
Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении и на 5, и на 16 даёт равные ненулевые остатки и первая цифра слева в записи которого являет…
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Среднее
Найдите четырёхзначное число, большее 2000, но меньшее 4000, которое делится на 18 и каждая следующая цифра которого больше предыдущей. В ответе запиш…
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите четырёхзначное число, большее 3000, но меньшее 3500, которое делится на 12 и каждая следующая цифра которого больше предыдущей. В ответе запиш…
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите наибольшее трёхзначное число, в записи которого не используется цифра 9 и которое нацело делится на 11.
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите наибольшее трёхзначное число, в записи которого не используется цифра 9 и которое нацело делится на 9.
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите наибольшее трёхзначное число, в записи которого не используется цифра 9 и которое нацело делится на 7.
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите наибольшее трёхзначное число, в записи которого не используется цифра 9 и которое нацело делится на 5.
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите наибольшее трёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами и делящееся на 74.
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите наименьшее трёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами и делящееся на 74.
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите наибольшее трёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами и делящееся на 37.
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите наименьшее трёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами и делящееся на 37.
Целые числа, делимость

Задание №19 — Свойства чисел

Найдите наибольшее трёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами и делящееся на 74.

Правильный ответ

888

Пояснение

Решение:
Любое трёхзначное число, состоящее из одинаковых цифр, можно представить в виде произведения: $aaa = a \cdot 111$ .
По условию задачи это число должно быть кратно $74$ . Разложим делитель на простые множители: $74 = 2 \cdot 37$ .
Таким образом, искомое число должно одновременно делиться и на $2$ , и на $37$ .
Заметим, что число $111$ представляется как $3 \cdot 37$ .
Отсюда следует, что $a \cdot 111 = a \cdot 3 \cdot 37$ .
Это означает, что абсолютно любое трёхзначное число с одинаковыми цифрами уже делится на $37$ .
Для выполнения условия кратности $74$ нам достаточно обеспечить делимость на $2$ . Это возможно только в том случае, если цифра $a$ является чётной.
Выпишем все возможные варианты таких чисел: $222, 444, 666, 888$ .
Среди них самым большим является $888$ .
Выполним проверку: $888 : 74 = 12$ . Условие выполняется.

Ответ: 888

Источник: ФИПИ