Задание №11 — Тела вращения

Решение:
Обозначим высоту большого конуса $AC$ через $h$. Согласно условию, высота малого конуса составляет $AB = \frac{3}{7} AC = \frac{3}{7} h$. Поскольку отсечённый конус подобен исходному, их объёмы относятся как куб коэффициента подобия: $\frac{V_{малого}}{V_{большого}} = k^{3}$.
Пусть $V_{м}$ — объём малого конуса, а $V_{б}$ — объём большого конуса.
Нам известно, что $V_{м} = 270$. Найдём коэффициент подобия $k$:
$k = \frac{AB}{AC} = \frac{\frac{3}{7} h}{h} = \frac{3}{7}$.
Подставим значения в формулу отношения объёмов:
$$\frac{270}{V_{б}} = \left(\frac{3}{7}\right)^{3} \Rightarrow \frac{270}{V_{б}} = \frac{27}{343}$$
Отсюда выразим объём всей фигуры:
$V_{б} = \frac{270 \cdot 343}{27} = 10 \cdot 343 = 3430$.
Чтобы найти объём оставшейся части (усечённого конуса), вычтем из общего объёма объём верхней части:
$V_{б} - V_{м} = 3430 - 270 = 3160$.

Ответ: 3160

Источник: ФИПИ