Задание №20 — Движение по окружности

Решение:

Разберем движение стрелок по циферблату. Полный оборот составляет 1 круг.
1) Часовая стрелка за один час перемещается от одной цифры к следующей. Так как на циферблате 12 делений, её скорость составляет $v_{час} = \frac{1}{12}$ круга в час.
2) Минутная стрелка за это же время совершает полный оборот, то есть её скорость $v_{мин} = 1$ круг в час.
3) Определим скорость, с которой минутная стрелка догоняет часовую (скорость сближения): $$v_{сбл} = 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12} \text{ круга/ч.}$$
4) В 8:00 минутная стрелка находится на цифре 12, а часовая — на цифре 8. Расстояние между ними по ходу движения составляет $\frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ круга. Чтобы встретиться в первый раз, минутная стрелка должна преодолеть это разделяющее их расстояние. Чтобы встретиться еще 3 раза (всего 4 встречи), ей нужно будет дополнительно пройти еще 3 полных круга относительно часовой стрелки.
5) Таким образом, суммарная дистанция, которую должна покрыть скорость сближения, равна: $$S = \frac{2}{3} + 3 = \frac{11}{3} \text{ круга.}$$
6) Вычислим время, необходимое для этого: $$t = \frac{11}{3} : \frac{11}{12} = \frac{11 \cdot 12}{3 \cdot 11} = 4 \text{ часа.}$$
7) Переведем полученное время в минуты: $4 \cdot 60 = 240$ минут.

Ответ: 240

Источник: ФИПИ