Решение:

Обозначим через $x$ (км/ч) скорость первого судна. Для систематизации данных составим таблицу:

	Скорость (км/ч)	Время (ч)	Расстояние (км)
I теплоход	$x$	$\frac{420}{x}$	420
II теплоход	$x + 5$	$\frac{420}{x + 5}$	420

Согласно условию, первый теплоход затратил на путь на 14 часов больше, чем второй. На основе этого составим уравнение:
$$\frac{420}{x} - \frac{420}{x + 5} = 14$$ Учитывая, что скорость не может быть нулевой или отрицательной ($x \neq 0$ и $x \neq -5$), приведем дроби к общему знаменателю:
$$\frac{420(x + 5) - 420x - 14x(x + 5)}{x(x + 5)} = 0$$ Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:
$420x + 2100 - 420x - 14x^2 - 70x = 0$
$-14x^2 - 70x + 2100 = 0$
Для удобства разделим обе части уравнения на $-14$:
$x^2 + 5x - 150 = 0$
Найдем дискриминант квадратного уравнения:
$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-150) = 25 + 600 = 625$
Вычислим корни:
$x = \frac{-5 \pm \sqrt{625}}{2} = \frac{-5 \pm 25}{2}$
$x_1 = 10$
$x_2 = -15$ — данное значение не удовлетворяет физическому смыслу задачи (скорость должна быть положительной).
Таким образом, скорость первого теплохода равна 10 км/ч. Найдем скорость второго теплохода:
$10 + 5 = 15$ км/ч.

Ответ: 15

Источник: ФИПИ