Задание №8 — Комбинаторика

Решение:

Пятизначное восьмеричное число имеет вид $d_1d_2d_3d_4d_5$, где старшая цифра $d_1 \in \{1,\dots,7\}$ (нулём число начинаться не может), а остальные цифры — любые из $\{0,\dots,7\}$.

Цифра 6 встречается ровно один раз, значит во всех остальных позициях шестёрки нет — там доступно по 7 цифр. Соседи шестёрки обязаны быть чётными; чётные восьмеричные цифры — это 0, 2, 4 и 6, но 6 запрещена условием, поэтому у соседа 3 варианта: 0, 2 или 4. Если соседом оказывается старший разряд, ноль тоже не подходит, и остаётся 2 варианта.

Разберём случаи по позиции шестёрки.

• 6 на 1-м месте: сосед $d_2 \in \{0,2,4\}$ — 3 варианта; $d_3, d_4, d_5$ — любые, кроме 6, по 7 вариантов. Итого $3 \cdot 7^3 = 1029$.
• 6 на 2-м месте: $d_1 \in \{2,4\}$ — 2 варианта; $d_3 \in \{0,2,4\}$ — 3; $d_4, d_5$ — по 7. Итого $2 \cdot 3 \cdot 7^2 = 294$.
• 6 на 3-м месте: $d_1$ — любая, кроме 0 и 6, то есть 6 вариантов; $d_2$ и $d_4$ — по 3; $d_5$ — 7. Итого $6 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 = 378$.
• 6 на 4-м месте: $d_1$ — 6 вариантов; $d_2$ — 7; $d_3$ и $d_5$ — по 3. Итого $6 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 3 = 378$.
• 6 на 5-м месте: $d_1$ — 6 вариантов; $d_2, d_3$ — по 7; $d_4 \in \{0,2,4\}$ — 3. Итого $6 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 3 = 882$.

Складываем: $1029 + 294 + 378 + 378 + 882 = 2961$.

from itertools import product

count = 0
for d in product('01234567', repeat=5):
    if d[0] == '0' or d.count('6') != 1:
        continue
    i = d.index('6')
    ok = True
    for j in (i - 1, i + 1):
        if 0 <= j < 5 and int(d[j]) % 2 == 1:
            ok = False
    if ok:
        count += 1
print(count)   # 2961

Ответ: 2961