Задание №8 — Комбинаторика

Решение:

Число четырёхзначное и записано в восьмеричной системе: цифры берутся из набора $0,1,\dots,7$, а первая цифра не ноль. Условие «есть ровно две одинаковые цифры, причём стоящие рядом» значит, что какая-то цифра встречается дважды подряд, а две оставшиеся цифры различны и отличны от неё.

Пара соседних одинаковых цифр занимает позиции 1–2, 2–3 или 3–4 — три варианта расположения. В каждом из них повторяющуюся цифру выбираем 8 способами, а две оставшиеся позиции заполняем разными цифрами $7\cdot6$ способами: получается $3\cdot8\cdot7\cdot6=1008$ наборов.

Осталось выбросить записи, начинающиеся с нуля. В каждом из трёх расположений их ровно 42: если ноль входит в пару, то пара — это «00», а две свободные позиции заполняются $7\cdot6=42$ способами; если ноль стоит вне пары, то цифру пары выбираем из семи ненулевых, а последнюю свободную цифру — шестью способами, снова $7\cdot6=42$. Значит, лишних наборов $3\cdot42=126$, а искомое количество равно $1008-126=882$.

from itertools import product
from collections import Counter

count = 0
for n in product(range(8), repeat=4):
    if n[0] == 0:
        continue
    c = Counter(n)
    if sorted(c.values()) != [1, 1, 2]:   # ровно одна пара одинаковых
        continue
    d = [k for k, v in c.items() if v == 2][0]
    i, j = [k for k, x in enumerate(n) if x == d]
    if j - i == 1:                        # цифры пары стоят рядом
        count += 1
print(count)   # 882

Ответ: 882