Задание 8

Знание основных понятий и методов, используемых при измерении количества информации · 27 заданий

Задание №8
№8
Все пятибуквенные слова, в составе которых могут быть только русские буквы П, А, Р, У, С, записаны в алфавитном порядке и пронумерованы начиная с 1. Н…
Количество информации
Задание №8
№8
Определите количество пятизначных чисел, записанных в восьмеричной системе счисления, в записи которых только одна цифра 6, при этом никакая нечётная…
Количество информации
Задание №8
№8
Все четырёхбуквенные слова, в составе которых могут быть только буквы Л, Е, М, У, Р, записаны в алфавитном порядке и пронумерованы, начиная с 1. Ниже…
Количество информации
Задание №8
№8
Игорь составляет таблицу кодовых слов для передачи сообщений, каждому сообщению соответствует своё кодовое слово. В качестве кодовых слов Игорь исполь…
Количество информации
Задание №8
№8
Шифр кодового замка представляет собой последовательность из пяти символов, каждый из которых является цифрой от 1 до 4. Сколько различных вариантов ш…
Количество информации
Задание №8
№8
Шифр кодового замка представляет собой последовательность из пяти символов, каждый из которых является цифрой от 1 до 6. Сколько различных вариантов ш…
Количество информации
Задание №8
№8
Сколько существует различных четырёхзначных чисел, записанных в десятичной системе счисления, в записи которых есть ровно две одинаковые цифры, причём…
Количество информации
Задание №8
№8
Сколько существует различных четырёхзначных чисел, записанных в восьмеричной системе счисления, в записи которых есть ровно две одинаковые цифры, прич…
Количество информации
Задание №8
№8
Все шестибуквенные слова, в составе которых могут быть только русские буквы С, О, Р, Н, Я, К, записаны в алфавитном порядке и пронумерованы начиная с…
Количество информации
Задание №8
№8
Все 4-буквенные слова, в составе которых могут быть только буквы А, Т, О, М, записаны в алфавитном порядке и пронумерованы, начиная с 1. Ниже приведен…
Количество информации
Задание №8
№8
Все пятибуквенные слова, составленные из букв И, Н, Т, Е, Г, Р, А, Л, записаны в алфавитном порядке и пронумерованы. 1. ААААА 2. ААААГ 3. ААААЕ 4. ААА…
Количество информации
Задание №8
№8
Все шестибуквенные слова, в составе которых могут быть только русские буквы П, О, Л, Ь, З, А, записаны в алфавитном порядке и пронумерованы начиная с…
Количество информации

Задание №8 — Комбинаторика

Сколько существует различных четырёхзначных чисел, записанных в восьмеричной системе счисления, в записи которых есть ровно две одинаковые цифры, причём стоящие рядом?

Правильный ответ

882

Пояснение

Решение:

Число четырёхзначное и записано в восьмеричной системе: цифры берутся из набора $0,1,\dots,7$ , а первая цифра не ноль. Условие «есть ровно две одинаковые цифры, причём стоящие рядом» значит, что какая-то цифра встречается дважды подряд, а две оставшиеся цифры различны и отличны от неё.

Пара соседних одинаковых цифр занимает позиции 1–2, 2–3 или 3–4 — три варианта расположения. В каждом из них повторяющуюся цифру выбираем 8 способами, а две оставшиеся позиции заполняем разными цифрами $7\cdot6$ способами: получается $3\cdot8\cdot7\cdot6=1008$ наборов.

Осталось выбросить записи, начинающиеся с нуля. В каждом из трёх расположений их ровно 42: если ноль входит в пару, то пара — это «00», а две свободные позиции заполняются $7\cdot6=42$ способами; если ноль стоит вне пары, то цифру пары выбираем из семи ненулевых, а последнюю свободную цифру — шестью способами, снова $7\cdot6=42$ . Значит, лишних наборов $3\cdot42=126$ , а искомое количество равно $1008-126=882$ .

from itertools import product
from collections import Counter

count = 0
for n in product(range(8), repeat=4):
    if n[0] == 0:
        continue
    c = Counter(n)
    if sorted(c.values()) != [1, 1, 2]:   # ровно одна пара одинаковых
        continue
    d = [k for k, v in c.items() if v == 2][0]
    i, j = [k for k, x in enumerate(n) if x == d]
    if j - i == 1:                        # цифры пары стоят рядом
        count += 1
print(count)   # 882

Ответ: 882