Задание №8 — Комбинаторика

Решение:

Букв восемь, в алфавитном порядке: А, Г, Е, И, Л, Н, Р, Т. Слово с номером $n$ — это число $n-1$ в восьмеричной системе (А=0, Г=1, Е=2, И=3, Л=4, Н=5, Р=6, Т=7).

Степени $8^k$ при $k \ge 1$ чётны, поэтому чётность числа $n-1$ задаётся только последней цифрой. Номер нечётный $\Leftrightarrow$ число $n-1$ чётно $\Leftrightarrow$ последняя буква имеет чётный код, то есть слово оканчивается на А, Е, Л или Р (4 варианта). Заметим, что буква Н среди них не встречается, значит все Н находятся среди первых четырёх букв.

Осталось посчитать наборы из четырёх первых букв: первая не Т, букв Н ровно одна или ровно две.

• Ровно одна Н: если Н стоит первой — $1 \cdot 7^3 = 343$; если Н на одной из позиций 2–4 — $3 \cdot 6 \cdot 7^2 = 882$ (первая буква не Н и не Т, то есть 6 вариантов). Всего $343 + 882 = 1225$.
• Ровно две Н: если первая буква Н, вторая Н на одной из позиций 2–4 — $3 \cdot 7^2 = 147$; если первая буква не Н (6 вариантов), обе Н среди позиций 2–4 — $6 \cdot C_3^2 \cdot 7 = 6 \cdot 3 \cdot 7 = 126$. Всего $147 + 126 = 273$.

Итого $(1225 + 273) \cdot 4 = 1498 \cdot 4 = 5992$.

from itertools import product

count = 0
for n, w in enumerate(product('АГЕИЛНРТ', repeat=5), 1):
    s = ''.join(w)
    if n % 2 == 1 and s[0] != 'Т' and s.count('Н') in (1, 2):
        count += 1
print(count)

Ответ: 5992