Задание №8 — Комбинаторика

Решение:

Букв восемь, в алфавитном порядке: А, Г, И, Л, М, Н, О, Ф. Слово с номером $n$ — это число $n-1$ в восьмеричной системе (А=0, Г=1, И=2, Л=3, М=4, Н=5, О=6, Ф=7).

Все степени $8^k$ при $k \ge 1$ чётны, поэтому чётность числа $n-1$ определяется только его последней цифрой. Номер нечётный $\Leftrightarrow$ число $n-1$ чётно $\Leftrightarrow$ последняя буква слова имеет чётный код, то есть слово оканчивается на А, И, М или О.

Считаем слова, у которых последняя буква — одна из А, И, М, О, первая — не Н, и букв О не больше одной.

• Последняя буква О. Тогда среди первых четырёх букв буквы О нет: первая — любая из 6 (не Н и не О), остальные три — любые из 7 (не О). Это $6 \cdot 7^3 = 2058$ слов.
• Последняя буква А, И или М (3 варианта). Среди первых четырёх букв не более одной О:
  ни одной О — $6 \cdot 7^3 = 2058$;
  ровно одна О: либо первая буква О — $1 \cdot 7^3 = 343$, либо О на одной из позиций 2–4 — $3 \cdot 6 \cdot 7^2 = 882$; всего $343 + 882 = 1225$.
  На один вариант последней буквы приходится $2058 + 1225 = 3283$ слова, на три — $3 \cdot 3283 = 9849$.

Итого $2058 + 9849 = 11907$.

from itertools import product

count = 0
for n, w in enumerate(product('АГИЛМНОФ', repeat=5), 1):
    s = ''.join(w)
    if n % 2 == 1 and s[0] != 'Н' and s.count('О') <= 1:
        count += 1
print(count)

Ответ: 11907