Вариант 1 · Май 2026

Решение:
а) Исходное уравнение: $\sin x \cdot \cos 2x + \sqrt{2} \cos^2 x + \sin x = 0$.
Применим формулы двойного угла для косинуса и основное тригонометрическое тождество, чтобы выразить всё через синус:
$\sin x \cdot (1 - 2 \sin^2 x) + \sqrt{2} (1 - \sin^2 x) + \sin x = 0$.
Раскроем скобки в левой части уравнения:
$\sin x - 2 \sin^3 x + \sqrt{2} - \sqrt{2} \sin^2 x + \sin x = 0$.
Приведем подобные слагаемые:
$2 \sin x - 2 \sin^3 x + \sqrt{2} - \sqrt{2} \sin^2 x = 0$.
Выполним группировку слагаемых, вынося общие множители:
$2 \sin x (1 - \sin^2 x) + \sqrt{2} (1 - \sin^2 x) = 0$,
$(2 \sin x + \sqrt{2})(1 - \sin^2 x) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
1) $2 \sin x + \sqrt{2} = 0 \Rightarrow \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Получаем две серии решений:
$x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ и $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2) $1 - \sin^2 x = 0 \Rightarrow \sin^2 x = 1$.
Это уравнение распадается на два случая:
$\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$;
$\sin x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) С помощью единичной окружности выберем корни, принадлежащие заданному отрезку $\left[\frac{3\pi}{2}; 3\pi\right]$.

На указанном промежутке находятся следующие значения:
Нижняя точка окружности совпадает с началом отрезка: $x = \frac{3\pi}{2}$.
Для серии $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$ при $k=1$: $x = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$.
Для серии $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ при $k=1$: $x = 2\pi + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{2}$.
Остальные корни не попадают в данный интервал.

Ответ: а) $-\frac{\pi}{4} + 2\pi k; -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k; -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; б) $\frac{3\pi}{2}; \frac{7\pi}{4}; \frac{5\pi}{2}$.

Источник: ФИПИ

Решение:

Дана пирамида $SABCD$, где основание $ABCD$ является прямоугольником.
По условию: $AB = 5$, диагональ $BD = 9$, точка $F$ лежит на ребре $AS$.
Боковые ребра равны: $SA = SB = SC = SD = 5$.
Также заданы отрезки: $SF = 4$, $BE = 4$.
Сечение $(CEF)$ пересекает ребро $SD$ в некоторой точке $Q$.
а) 1) Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $ABD$: $BD^{2} = AB^{2} + AD^{2}$.
Отсюда $AD = \sqrt{9^{2} - 5^{2}} = \sqrt{56} = 2 \sqrt{14}$. Точка $O$ — центр прямоугольника, поэтому $DO = OB = AO = OC$.
2) Пусть прямая $CE$ пересекается с прямой $AB$ в точке $N$. Соединим $F$ и $N$.
3) Пусть прямая $CN$ пересекается с прямой $AD$ в точке $M$. Проведем прямую через $M$ и $F$, которая пересечет ребро $SD$ в точке $Q$.
4) Проанализируем планиметрию в плоскости основания $(ABC)$:

Углы $\angle DEM$ и $\angle CEB$ равны как вертикальные; $\angle ADM$ и $\angle DBC$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых.
Следовательно, $\triangle DEM \sim \triangle BEC$. Из подобия имеем: $\frac{EB}{DE} = \frac{BC}{MD} = \frac{4}{5}$.
Подставим значения: $\frac{2 \sqrt{14}}{MA + 2 \sqrt{14}} = \frac{4}{5}$.
Решая уравнение, находим $MA = \frac{\sqrt{14}}{2}$.
5) Рассмотрим треугольники $NAM$ и $NBC$: $\angle ANM = \angle CNB$ (вертикальные), $\angle NAM = \angle NBC = 90^{\circ}$.
Тогда $\triangle NAM \sim \triangle NBC$.
Отношение сторон: $\frac{AN}{NB} = \frac{AM}{BC} = \frac{\frac{\sqrt{14}}{2}}{2 \sqrt{14}} = \frac{1}{4}$.
Таким образом, $NB = 4 AN$, то есть $AN : NB = 1 : 4$.
6) Поскольку $SA = 5$ и $SF = 4$, то $FA = 5 - 4 = 1$.
Заметим, что $\frac{AF}{SF} = \frac{1}{4}$ и $\frac{AN}{NB} = \frac{1}{4}$.
Так как отношения соответственных отрезков равны ($\frac{AF}{SF} = \frac{AN}{NB}$), то по теореме Фалеса (обратной) $FN \parallel SB$.
Следовательно, прямая $SB$ параллельна плоскости сечения $(CEF)$, что и требовалось доказать.
б) 7) Треугольники $ASC$ и $BSD$ равнобедренные, значит, медиана $SO$ является их высотой. Таким образом, $SO \bot AC$ и $SO \bot BD$, откуда следует, что $SO$ — высота всей пирамиды ($SO \bot (ABC)$).
8) Проведем перпендикуляр $QH$ из точки $Q$ к прямой $DB$. Длина $QH$ и будет искомым расстоянием.
9) Рассмотрим сечение $DSM$:

Воспользуемся теоремой Менелая для треугольника $DSA$ и прямой $MQF$:
$\frac{SF}{AF} \cdot \frac{AM}{DM} \cdot \frac{DQ}{QS} = 1$
$\frac{4}{1} \cdot \frac{\frac{\sqrt{14}}{2}}{\frac{5 \sqrt{14}}{2}} \cdot \frac{DQ}{QS} = 1$
Получаем $\frac{4}{5} \cdot \frac{DQ}{QS} = 1$, откуда $\frac{DQ}{QS} = \frac{5}{4}$.
Учитывая, что $DQ + QS = DS = 5$, имеем: $4 DQ = 5(5 - DQ) \Rightarrow 9 DQ = 25$.
$DQ = \frac{25}{9}$. Тогда отношение $\frac{DQ}{DS} = \frac{25}{9 \cdot 5} = \frac{5}{9}$.
10) Треугольники $DQH$ и $DSO$ подобны по двум углам ($\angle D$ — общий, углы при $H$ и $O$ прямые).
Из подобия: $\frac{QH}{SO} = \frac{DQ}{DS} = \frac{5}{9}$, то есть $QH = \frac{5}{9} SO$.
Найдем высоту $SO$ из $\triangle SOB$ по теореме Пифагора: $SO = \sqrt{SB^{2} - OB^{2}} = \sqrt{5^{2} - \left(\frac{9}{2}\right)^{2}} = \sqrt{25 - \frac{81}{4}} = \frac{\sqrt{19}}{2}$.
Итоговое расстояние: $QH = \frac{5}{9} \cdot \frac{\sqrt{19}}{2} = \frac{5 \sqrt{19}}{18}$.

Ответ: $\frac{5}{18} \sqrt{19}$

Источник: ФИПИ

Решение:
Рассмотрим исходное неравенство: $x^{2} \log _{512} ( 4 - x ) \geq \log _{2} ( x^{2} - 8 x + 16 )$.
Преобразуем обе части, используя свойства логарифмов и формулу квадрата разности:
$x^{2} \log _{2^{9}} (4 - x) \geq \log _{2} (x - 4)^{2}$
Вынесем показатели степеней из оснований и аргументов:
$x^{2} \cdot \frac{1}{9} \log _{2} (4 - x) \geq 2 \log _{2} |x - 4|$
Учитывая область определения, выражение под модулем $|x-4|$ заменим на $(4-x)$, так как аргумент первого логарифма требует $4-x > 0$. Перенесем всё в левую часть и вынесем общий множитель:
$\frac{x^{2}}{9} \log _{2} (4 - x) - 2 \log _{2} (4 - x) \geq 0$
$\log _{2} (4 - x) \left(\frac{x^{2}}{9} - 2\right) \geq 0$

Определим область допустимых значений (ОДЗ):
$\begin{cases} 4 - x > 0 \\ (x - 4)^{2} > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 4 \\ x \neq 4 \end{cases} \Rightarrow x \in (-\infty; 4)$.

Для решения полученного неравенства воспользуемся методом рационализации:
$(2 - 1) \cdot (4 - x - 1) \cdot \left(\frac{x^{2}}{9} - 2\right) \geq 0$
Упростим выражение, умножив на положительное число 9:
$(3 - x)(x^{2} - 18) \geq 0$
Разложим на множители и определим знаки на числовой прямой:

Получаем промежутки: $x \in (-\infty; -\sqrt{18}] \cup [3; \sqrt{18}]$.
Теперь сопоставим найденные решения с условием $x < 4$. Заметим, что $\sqrt{18} \approx 4,24$, поэтому правый интервал будет ограничен числом 4:

Ответ: $(-\infty; -3\sqrt{2}] \cup [3; 4)$

Источник: ФИПИ

Решение:
Предположим, что на первом предприятии затрачивается $x^{2}$ человеко-часов, что позволяет выпустить $x$ единиц продукции. Аналогично, на втором предприятии используется $y^{2}$ человеко-часов для производства $y$ единиц продукции. Суммарный объем произведенного товара обозначим через $S$:
$S = x + y.$
Согласно условию, общие затраты на оплату труда на обоих объектах составляют 1 200 000 рублей в неделю. Исходя из стоимости часа работы (200 и 300 рублей соответственно), составим уравнение:
$200 x^{2} + 300 y^{2} = 1200000.$
Выразим переменную $y$ через общий объем $S$ и $x$:
$y = S - x.$
Подставим полученное выражение в уравнение бюджетного ограничения:
$200 x^{2} + 300 (S - x)^{2} = 1200000$
Разделим обе части на 100 для упрощения расчетов:
$2 x^{2} + 3 (S - x)^{2} = 12000$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$2 x^{2} + 3 (S^{2} - 2Sx + x^{2}) = 12000$
$2 x^{2} + 3S^{2} - 6Sx + 3x^{2} - 12000 = 0$
$5 x^{2} - 6Sx + 3S^{2} - 12000 = 0$
Мы получили квадратное уравнение относительно $x$. Чтобы существовали реальные значения $x$, при которых возможен такой объем производства, дискриминант данного уравнения должен быть неотрицательным:
$D = (-6S)^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (3S^{2} - 12000) = 36S^{2} - 60S^{2} + 240000 = -24S^{2} + 240000.$
Решим неравенство $D \geq 0$:
$-24S^{2} + 240000 \geq 0$
$24S^{2} \leq 240000$
$S^{2} \leq 10000.$
Для нахождения границ воспользуемся методом интервалов:
$S^{2} = 10000 \Rightarrow S_{1} = -100, S_{2} = 100.$

Учитывая, что объем производства $S$ не может быть отрицательным, получаем интервал $0 \leq S \leq 100$.
Следовательно, максимально возможное значение $S$ равно $100$.
Проверим, при каких $x$ и $y$ достигается этот максимум:
$5x^{2} - (6 \cdot 100)x + (3 \cdot 100^{2} - 12000) = 0$
$5x^{2} - 600x + 18000 = 0$
Сократим на 5:
$x^{2} - 120x + 3600 = 0$
Заметим формулу квадрата разности:
$(x - 60)^{2} = 0 \Rightarrow x = 60.$
Тогда объем производства на втором заводе составит:
$y = 100 - 60 = 40.$
Так как найденные значения $x$ и $y$ являются допустимыми, максимальный суммарный объем товара равен 100 единицам.

Ответ: 100

Источник: ФИПИ

Решение:

а) Обозначим центры данных окружностей как $O_{1}$ и $O_{2}$.
Построим общую касательную к окружностям в точке их касания $K$, которая пересекает отрезок $AB$ в точке $M$.
Согласно свойству отрезков касательных, выходящих из одной точки: $AM = MK$ и $MK = MB$.
В треугольнике $AKB$ отрезок $KM$ является медианой, при этом $KM = \frac{1}{2} AB$. Следовательно, $\triangle AKB$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $K$.
Отсюда получаем: $\angle AKB = 90^{\circ}$. Смежные с ним углы также прямые: $\angle AKD = 90^{\circ}$ и $\angle BKC = 90^{\circ}$.

Так как треугольники $DAK$ и $KCB$ прямоугольные и опираются на хорды $AD$ и $BC$ соответственно, то эти хорды являются диаметрами окружностей.
Поскольку радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательной, имеем $AD \perp AB$ и $BC \perp AB$. Из перпендикулярности двух прямых одной и той же прямой следует их параллельность: $AD \parallel BC$.

б) По условию радиус первой окружности $O_{1} D = 4$, значит её диаметр $AD = 8$.
Радиус второй окружности $O_{2} B = 1$, следовательно её диаметр $BC = 2$.
Прямоугольные треугольники $ADK$ и $KBC$ подобны по острому углу. Коэффициент подобия равен отношению диаметров: $k = \frac{AD}{BC} = \frac{8}{2} = 4$.
Тогда отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия: $\frac{S_{DKA}}{S_{BKC}} = 4^2 = 16$.
Пусть $S_{BKC} = S$, тогда $S_{DKA} = 16S$.
Треугольники $ADK$ и $AKB$ имеют общую высоту, опущенную из вершины $A$, поэтому их площади относятся как длины оснований: $\frac{S_{ADK}}{S_{AKB}} = \frac{DK}{KB} = k = 4$.
Отсюда $S_{AKB} = \frac{S_{ADK}}{4} = \frac{16S}{4} = 4S$.

Четырехугольник $ABCD$ — трапеция, в которой площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам ($\triangle AKB$ и $\triangle DKC$), равны. Значит, $S_{DKC} = S_{AKB} = 4S$.
Общая площадь трапеции: $S_{ABCD} = S_{DKA} + S_{BKC} + S_{AKB} + S_{DKC} = 16S + S + 4S + 4S = 25S$.

Найдем площадь трапеции иным способом. Опустим перпендикуляр $O_{2}H$ из центра меньшей окружности на радиус $O_{1}A$.
Расстояние между центрами $O_{1}O_{2} = 4 + 1 = 5$.
Длина отрезка $O_{1}H = O_{1}A - HA = O_{1}A - O_{2}B = 4 - 1 = 3$.
По теореме Пифагора в $\triangle O_{1}HO_{2}$: $O_{2}H = \sqrt{O_{1}O_{2}^2 - O_{1}H^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$.
Высота трапеции $AB$ равна длине $O_{2}H$, то есть $AB = 4$.
$S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot AB = \frac{8 + 2}{2} \cdot 4 = 20$.
Приравняем выражения для площади: $25S = 20$, откуда $S = \frac{20}{25} = 0,8$.
Искомая площадь треугольника $AKB = 4S = 4 \cdot 0,8 = 3,2$.

Ответ: 3,2

Источник: ФИПИ

Решение:
Разложим левую часть исходного уравнения на множители, вынеся общий логарифм за скобки:
$\ln (x - 2a) \cdot (\sqrt{x + 3a} - (x - 1)) = 0$
Для того чтобы уравнение имело корни на заданном отрезке $[0; 1]$, необходимо выполнение условий области определения и равенство одного из множителей нулю. Это приводит к совокупности двух систем:
$\left[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} \ln(x - 2a) = 0 \\ x + 3a \geq 0 \\ 0 \leq x \leq 1 \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} \sqrt{x + 3a} = x - 1 \\ x - 2a > 0 \\ 0 \leq x \leq 1 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.$
Преобразуем каждое условие:
$\left[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} x - 2a = 1 \\ x \geq -3a \\ 0 \leq x \leq 1 \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x + 3a = (x - 1)^2 \\ x - 1 \geq 0 \\ x > 2a \\ 0 \leq x \leq 1 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.$
Подставим $x = 2a + 1$ в первую систему и проанализируем ограничения для второй:
$\left[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} x = 2a + 1 \\ 2a + 1 \geq -3a \\ 0 \leq 2a + 1 \leq 1 \end{matrix}\right. \quad (1) \\ \left\{\begin{matrix} x + 3a = (x - 1)^2 \\ x \geq 1 \\ x > 2a \\ 0 \leq x \leq 1 \end{matrix}\right. \quad (2) \end{matrix}\right.$
Решим систему (1):
Из неравенств получаем: $5a \geq -1 \Rightarrow a \geq -0,2$ и $-1 \leq 2a \leq 0 \Rightarrow -0,5 \leq a \leq 0$.
Пересечение этих условий дает промежуток $a \in [-0,2; 0]$. В этом случае корень $x = 1 + 2a$ попадает в отрезок $[0; 1]$.

Решим систему (2):
Заметим, что условия $x \geq 1$ и $0 \leq x \leq 1$ одновременно выполняются только при $x = 1$.
Подставим это значение в уравнение: $1 + 3a = (1 - 1)^2$, откуда $1 + 3a = 0$, то есть $a = -\frac{1}{3}$.
Проверим условие логарифма: $x > 2a \Rightarrow 1 > 2 \cdot (-\frac{1}{3}) \Rightarrow 1 > -\frac{2}{3}$ — верно.

Проверим, могут ли корни из обеих систем совпасть:
Если $x = 1$, то из первой системы $1 = 1 + 2a$, что дает $a = 0$.
При $a = 0$ корень $x = 1$ уже включен в найденный ранее промежуток.
Объединяя результаты, получаем итоговые значения параметра.

Ответ: $\left\{-\frac{1}{3}\right\} \cup \left[-\frac{1}{5}; 0\right]$

Источник: ФИПИ

Решение:
а) Да, такая ситуация возможна. Представим, что изначально на доске было 10 шестёрок и 10 семёрок.
Тогда исходное среднее арифметическое составит:
$S_{1} = \frac{10 \cdot 6 + 10 \cdot 7}{20} = \frac{130}{20} = 6{,}5.$
Если мы уменьшим все шестёрки на 1, они превратятся в пятёрки и, согласно условию, будут удалены. Останутся только 10 семёрок. Новое среднее арифметическое будет равно:
$S_{2} = \frac{10 \cdot 7}{10} = 7.$
Очевидно, что $7 > 6{,}5$, то есть среднее значение увеличилось.
б) Предположим, что на доске было $n$ чисел, равных 6. Тогда их суммарное значение равно $6n$. Обозначим сумму остальных $(19 - n)$ чисел через $B$, а последнее, двадцатое число, как $a$.
Исходя из условия, среднее арифметическое всех чисел равно 32:
$\frac{6n + B + a}{20} = 32 \Rightarrow 6n + B + a = 640.$
После того как шестёрки уменьшили на 1 и стерли, на доске осталось $(20 - n)$ чисел, а их среднее стало равно 39:
$\frac{B + a}{20 - n} = 39 \Rightarrow B + a = 39(20 - n).$
Подставим выражение для $(B + a)$ в первое уравнение:
$6n + 39(20 - n) = 640$
$6n + 780 - 39n = 640$
$33n = 140$
$n = \frac{140}{33} = 4\frac{8}{33}.$
Так как количество чисел $n$ должно быть целым, мы пришли к противоречию. Значит, такая ситуация невозможна.
в) Для максимизации итогового среднего арифметического нужно, чтобы количество удаляемых шестёрок $n$ было как можно меньше, а оставшиеся числа — как можно больше (максимальное значение 45).
Запишем уравнение для среднего арифметического исходного набора, где $n$ — количество шестёрок, $a$ — некоторое число из набора, а остальные $(19 - n)$ чисел равны 45:
$\frac{6n + (19 - n) \cdot 45 + a}{20} = 32$
$6n + 855 - 45n + a = 640$
$39n = 215 + a.$
Чтобы $n$ было минимальным целым числом, подберем подходящее $a$ (учитывая, что $a \le 45$ и $a > 5$). При $a = 19$ получаем:
$39n = 215 + 19 = 234 \Rightarrow n = 6.$
Таким образом, в наборе было 6 шестёрок, 13 чисел по 45 и одно число 19. Проверим среднее:
$S_{1} = \frac{6 \cdot 6 + 13 \cdot 45 + 19}{20} = \frac{36 + 585 + 19}{20} = \frac{640}{20} = 32.$
После удаления шестёрок на доске останется $20 - 6 = 14$ чисел. Новое среднее арифметическое составит:
$S_{2} = \frac{13 \cdot 45 + 19}{14} = \frac{585 + 19}{14} = \frac{604}{14} = \frac{302}{7} = 43 \frac{1}{7}.$

Ответ: а) да; б) нет; в) $43 \frac{1}{7}$

Источник: ФИПИ