Вариант 1 · Май 2026

В треугольнике ABC стороны AC и BC равны. Внешний угол при вершине B равен 107°. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

Даны векторы $\overset{\rightarrow}{a} \left\{\right. - 13 ; 4 \left.\right\}$ и $\overset{\rightarrow}{b} \left\{\right. - 6 ; 1 \left.\right\} .$ Найдите скалярное произведение $\overset{\rightarrow}{a} \cdot \overset{\rightarrow}{b} .$

В прямоугольном параллелепипеде $\text{ABCDA}_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ известно, что $BC = 9 , CD = 3 , CC_{1} = 7 .$ Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A , B , C , D , C_{1} .$

На чемпионате по прыжкам в воду выступают 75 спортсменов, среди них 15 спортсменов из Италии и 13 спортсменов из Канады. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что четвёртым будет выступать спортсмен из Италии.

Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже 36,8 °C, равна 0,94. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура тела окажется 36,8 °C или выше.

Найдите корень уравнения $\sqrt{63 - 9 x} = 3 .$

Найдите значение выражения $25^{2 \sqrt{8} + 3} \cdot 5^{- 3 - 4 \sqrt{8}} .$

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону $H \left(t\right) = H_{0} + b t + a t^{2} ,$ где $t$ - время в минутах, прошедшее с момента открытия крана, $H_{0} = 4 м$ - начальный уровень воды, $\alpha = \frac{1}{196} \frac{м}{м и н^{2}} , b = - \frac{2}{7} \frac{м}{м и н} .$ В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.

Рабочие прокладывают тоннель длиной 500 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 3 метра тоннеля. Определите, сколько метров тоннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 10 дней.

На рисунке изображен график функции вида $f ( x ) = a^{x} .$ Найдите значение $f ( - 3 ) .$

Найдите наибольшее значение функции $y = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 5$ на отрезке [0; 3].

а) Решите уравнение $\sin x \cdot \cos 2 x + \sqrt{2} \cos ^{2} x + \sin x = 0 .$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{3 \pi}{2} ; 3 \pi\right] .$

В основании пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$ со стороной $AB = 5$ и диагональю $BD = 9 .$ Все боковые ребра пирамиды равны 5. На диагонали $BD$ основания $ABCD$ отмечена точка $E ,$ а на ребре $AS$ - точка $F$ так, что $SF = BE = 4 .$
а) Докажите, что плоскость $CEF$ параллельна ребру $SB .$
б) Плоскость $CEF$ пересекает ребро $SD$ в точке $Q .$ Найдите расстояние от точки $Q$ до плоскости $ABC .$

Решите неравенство $x^{2} \log _{512} ( 4 - x ) \geq \log _{2} ( x^{2} - 8 x + 16 ) .$

Вадим является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно $t^{2}$ часов в неделю, то за эту неделю они производят $t$ единиц товара. За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Вадим платит рабочему 200 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, 300 рублей.
Вадим готов выделять 1200000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Две окружности касаются внешним образом в точке $K .$ Прямая $AB$ касается первой окружности в точке $A ,$ а второй – в точке $B .$ Прямая $BK$ пересекает первую окружность в точке $D ,$ прямая $AK$ пересекает вторую окружность в точке $C .$
а) Докажите, что прямые $AD$ и $BC$ параллельны.
б) Найдите площадь треугольника $AKB ,$ если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

Найдите все значения параметра $a ,$ при каждом из которых уравнение
$\sqrt{x + 3 a} \cdot \ln \left(x - 2 a\right) = \left(x - 1\right) \cdot \ln \left(x - 2 a\right)$
имеет ровно один корень на отрезке $\left[0 ; 1\right] .$

На доске написано 20 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых больше 5, но не превосходит 45. Вместо некоторых чисел (возможно одного) на доске написали числа меньшие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 5, с доски стёрли, но на доске осталось хотя бы одно число.
а)  Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел увеличилось?
б)  Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 32. Могло ли среднееарифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 39?
в)  Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 32. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.