Задание №10 — Арифметическая прогрессия

Решение:
Обозначим ежедневную выработку рабочих как последовательность $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$, где $a_{1}$ — количество метров, проложенных в первый день, а $a_{n}$ — в последний. Общая протяженность тоннеля составляет $S_{n} = 500$ метров. Согласно условию, работа велась в течение $n = 10$ дней, при этом ежедневный объем работ изменялся равномерно, что соответствует арифметической прогрессии.

Воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии:
$$S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n$$

Из данного уравнения выразим количество метров, проложенных в заключительный день ($a_{10}$):
$$a_{10} = \frac{2 S_{n}}{n} - a_{1}$$

Подставим известные значения ($S_{10} = 500$, $n = 10$, $a_{1} = 3$):
$$a_{10} = \frac{2 \cdot 500}{10} - 3 = 100 - 3 = 97 \text{ метров.}$$

Следовательно, за последний день было проложено 97 метров.

Ответ: 97

Источник: ФИПИ