Вариант 5 · Август 2026

Решение:
а) Исходное уравнение: $2 \sin ^{2} x + \sqrt{2} \sin \left(2 \pi - x\right) + \sqrt{3} \sin 2 x = \sqrt{6} \cos x$.
Применим формулу приведения $\sin(2\pi - x) = -\sin x$ и разложим синус двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:
$2 \sin ^{2} x - \sqrt{2} \sin x + 2\sqrt{3} \sin x \cos x - \sqrt{6} \cos x = 0$.
Для удобства группировки представим коэффициенты через радикалы:
$(\sqrt{2})^2 \sin^2 x - \sqrt{2} \sin x + \sqrt{3} \cdot (\sqrt{2})^2 \sin x \cos x - \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} \cos x = 0$.
Выполним группировку слагаемых:
$\sqrt{2} \sin x (\sqrt{2} \sin x - 1) + \sqrt{6} \cos x (\sqrt{2} \sin x - 1) = 0$.
Вынесем общий множитель за скобки:
$(\sqrt{2} \sin x - 1)(\sqrt{2} \sin x + \sqrt{6} \cos x) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $\sqrt{2} \sin x - 1 = 0 \Rightarrow \sin x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Отсюда получаем две серии решений:
$\left[\begin{matrix} x = \frac{\pi}{4} + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z} \\ x = \frac{3 \pi}{4} + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z} \end{matrix}\right.$

2) $\sqrt{2} \sin x + \sqrt{6} \cos x = 0$.
Разделим обе части на $\cos x$ (заметим, что если $\cos x = 0$, то и $\sin x = 0$, что невозможно по основному тригонометрическому тождеству):
$\sqrt{2} \operatorname{tg} x + \sqrt{6} = 0 \Rightarrow \operatorname{tg} x = -\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = -\sqrt{3}$.
Следовательно, $x = -\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) С помощью единичной окружности выберем корни, принадлежащие заданному отрезку $\left[- \pi ; \frac{\pi}{2}\right]$.

На указанном промежутке лежат значения: $-\frac{\pi}{3}$ и $\frac{\pi}{4}$.
Ответ: а) $\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, -\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4}$.

Источник: ФИПИ

Решение:

а) Построим сечение, последовательно соединив вершины $A_{1}$ и $B$, а также точки $A_{1}$ с $M$ и $B$ с $M$.
Полученный треугольник $A_{1}MB$ и является искомым сечением.
Сравним прямоугольные треугольники $\triangle A_{1}C_{1}M$ и $\triangle BCM$:
1. Катеты $C_{1}M$ и $MC$ равны, так как $M$ — середина бокового ребра $CC_{1}$.
2. Катеты $A_{1}C_{1}$ и $BC$ равны как стороны оснований правильной призмы.
Следовательно, $\triangle A_{1}C_{1}M = \triangle BCM$ по двум катетам. Из равенства треугольников вытекает равенство их гипотенуз: $A_{1}M = BM$.
Это доказывает, что треугольник $A_{1}MB$ является равнобедренным.

б) Пусть половина бокового ребра $MC = C_{1}M = x$, тогда вся высота призмы $CC_{1} = 2x$.
Применим теорему Пифагора для $\triangle BCM$, учитывая, что сторона основания $BC = AB = 2$:
$$BM^{2} = BC^{2} + MC^{2} = 2^2 + x^2 = 4 + x^{2}.$$
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AA_{1}B$:
$$A_{1}B^{2} = AA_{1}^{2} + AB^{2} = (2x)^{2} + 2^2 = 4x^{2} + 4.$$
В равнобедренном треугольнике $A_{1}MB$ проведем медиану $MH$ к основанию $A_{1}B$. Она также будет являться высотой ($MH \perp A_{1}B$).
Точка $H$ делит отрезок $A_{1}B$ пополам, значит:
$HB = \frac{A_{1}B}{2} = \frac{\sqrt{4x^{2} + 4}}{2} = \frac{2\sqrt{x^{2} + 1}}{2} = \sqrt{x^{2} + 1}.$
Из прямоугольного треугольника $\triangle HMB$ найдем длину высоты $MH$:
$$HM^{2} = MB^{2} - HB^{2} = (4 + x^{2}) - (x^{2} + 1) = 3 \Rightarrow HM = \sqrt{3}.$$
Используя формулу площади треугольника $S_{A_{1}MB} = \frac{1}{2} \cdot A_{1}B \cdot MH$, и зная, что площадь равна $6$, имеем:
$$\frac{1}{2} \cdot A_{1}B \cdot \sqrt{3} = 6 \Rightarrow A_{1}B = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}.$$
Найдем высоту призмы $AA_{1}$, используя ранее выведенную связь с $A_{1}B$:
$AA_{1}^{2} = A_{1}B^{2} - AB^{2} = (4\sqrt{3})^{2} - 2^{2} = 48 - 4 = 44.$
Следовательно, $AA_{1} = \sqrt{44} = 2\sqrt{11}.$

Ответ: $2\sqrt{11}$

Источник: ФИПИ

Решение:
Дано неравенство: $\log_{0{,}5} (x^3 - 3x^2 - 9x + 27) \leq \log_{0{,}25} (x - 3)^4$.
Для начала упростим многочлен в аргументе левого логарифма методом группировки:
$x^3 - 3x^2 - 9x + 27 = x^2(x - 3) - 9(x - 3) = (x^2 - 9)(x - 3) = (x - 3)(x + 3)(x - 3) = (x - 3)^2(x + 3)$.
Определим область допустимых значений (ОДЗ), учитывая, что аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$$\begin{cases} x^3 - 3x^2 - 9x + 27 > 0 \\ (x - 3)^4 > 0 \end{cases}$$ Подставим разложение:
$$\begin{cases} (x - 3)^2(x + 3) > 0 \\ (x - 3)^4 > 0 \end{cases}$$
Решением системы ограничений является множество: $x \in (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.
Теперь перейдем к решению самого неравенства, приведя логарифмы к общему основанию $\frac{1}{2}$:
$\log_{\frac{1}{2}} ((x - 3)^2(x + 3)) \leq \log_{(\frac{1}{2})^2} (x - 3)^4$
Используя свойство степени основания $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$, получаем:
$\log_{\frac{1}{2}} ((x - 3)^2(x + 3)) \leq \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{2}} (x - 3)^4$
Внесем коэффициент перед правым логарифмом в показатель степени аргумента:
$\log_{\frac{1}{2}} ((x - 3)^2(x + 3)) \leq \log_{\frac{1}{2}} ((x - 3)^4)^{\frac{1}{2}}$
$\log_{\frac{1}{2}} ((x - 3)^2(x + 3)) \leq \log_{\frac{1}{2}} (x - 3)^2$
Так как основание логарифма $0{,}5 < 1$, при переходе к подлогарифмическим выражениям знак неравенства меняется на противоположный:
$(x - 3)^2(x + 3) \geq (x - 3)^2$
Перенесем всё в левую часть и вынесем общий множитель за скобки:
$(x - 3)^2(x + 3) - (x - 3)^2 \geq 0$
$(x - 3)^2(x + 3 - 1) \geq 0$
$(x - 3)^2(x + 2) \geq 0$
Решим полученное неравенство методом интервалов:

Отсюда получаем промежуток: $x \in [-2; +\infty)$.
На финальном этапе найдем пересечение полученного решения с областью допустимых значений:

Ответ: $[-2; 3) \cup (3; +\infty)$

Источник: ФИПИ

Решение:
Проанализируем изменение суммы вложений по годам. К началу второго года сумма составит $25 \cdot 1{,}2 + n = 30 + n$ млн рублей. Соответственно, к началу третьего года объем инвестиций вырастет до $1{,}2 \cdot (30 + n) + n = 36 + 2{,}2n$ млн рублей.
Согласно условию задачи, к этому моменту сумма должна быть не менее 50 млн рублей: $36 + 2{,}2n \geq 50$. Отсюда находим минимальное целое значение $n$: $n_{наим} = 7$. При таком $n$ к началу третьего года капитал составит $36 + 2{,}2 \cdot 7 = 51{,}4$ млн рублей.
Рассчитаем динамику вложений далее. К началу четвертого года сумма станет равной $51{,}4 \cdot 1{,}2 + m$. В конце срока реализации проекта итоговая величина составит $1{,}2 \cdot (1{,}2 \cdot 51{,}4 + m) + m = 74{,}016 + 2{,}2m$.
По требованию задачи итоговая сумма должна быть не меньше 100 млн рублей: $74{,}016 + 2{,}2m \geq 100$. Решая неравенство $2{,}2m \geq 25{,}984$, получаем, что наименьшее подходящее целое число $m = 12$.

Обоснованно получен верный ответ — 2 балла
Верно построена математическая модель — 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше — 0 баллов

Ответ: 12

Источник: ФИПИ

Решение:

а) Заметим, что вписанные углы $\angle BAC$ и $\angle DCE$ опираются на равные по условию хорды $BC$ и $DE$, следовательно, они равны. Аналогичным образом получаем равенство углов $\angle CED$ и $\angle ACB$, так как они опираются на одну и ту же дугу (или равные хорды).
Рассмотрим треугольники $ABC$ и $CDE$. В них $BC = DE$, а углы при этих сторонах соответственно равны. Из этого следует, что $\triangle ABC = \triangle CDE$ (по второму признаку равенства треугольников), а значит, соответственные стороны $AC$ и $CE$ также равны, что и требовалось доказать.

б) Поскольку углы $\angle CAD$ и $\angle BCA$ опираются на равные дуги, прямые $BC$ и $AD$ параллельны.

Аналогично, из равенства дуг следует, что $\angle BDC = \angle DBE$, что обеспечивает параллельность $CD \parallel BE$. Таким образом, четырехугольник $KBCD$ является параллелограммом по определению.
Отсюда имеем: $BK = CD = AB = 3$ и $KD = BC = ED = 4$.
Найдем длину отрезка $AK$, вычтя из основания $AD$ отрезок $KD$: $AK = 6 - 4 = 2$.
Воспользуемся теоремой о произведении отрезков пересекающихся хорд $AD$ и $BE$:
$AK \cdot KD = BK \cdot KE$.
Подставим известные значения: $2 \cdot 4 = 3 \cdot KE$, откуда получаем $KE = \frac{8}{3}$.
Искомая длина отрезка $BE$ складывается из длин $BK$ и $KE$:
$BE = 3 + \frac{8}{3} = \frac{9+8}{3} = \frac{17}{3}$.

Ответ: б) $\frac{17}{3}$

Источник: ФИПИ

Решение:
Для начала введём новую переменную $t = |x - 6| - |x - a|$. Тогда исходное уравнение примет вид квадратного относительно $t$:
$$t^{2} - 3at + 2a^{2} + a - 1 = 0$$ Вычислим дискриминант полученного уравнения:
$D = (3a)^{2} - 4(2a^{2} + a - 1) = 9a^{2} - 8a^{2} - 4a + 4 = a^{2} - 4a + 4 = (a - 2)^{2}$.
Найдём корни уравнения для $t$:
$t = \frac{3a \pm (a - 2)}{2}$, откуда получаем совокупность:
$\left[\begin{matrix} t_1 = 2a - 1 \\ t_2 = a + 1 \end{matrix}\right.$
Выполним обратную подстановку, перейдя к уравнениям с модулями:
$|x - 6| - |x - a| = 2a - 1$ или $|x - 6| - |x - a| = a + 1$.
Раскроем модули, учитывая критические точки $x = 6$ и $x = a$. Рассмотрим возможные интервалы:
1) Если $x \geq 6$ и $x \geq a$, то выражения под модулем раскрываются с плюсом:
$\left[\begin{matrix} (x - 6) - (x - a) = 2a - 1 \\ (x - 6) - (x - a) = a + 1 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left[\begin{matrix} a - 6 = 2a - 1 \\ a - 6 = a + 1 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left[\begin{matrix} a = -5 \\ \text{нет решений} \end{matrix}\right.$
2) Если $x \leq 6$ и $x \leq a$, то оба модуля раскрываются с противоположным знаком:
$\left[\begin{matrix} -(x - 6) + (x - a) = 2a - 1 \\ -(x - 6) + (x - a) = a + 1 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left[\begin{matrix} 6 - a = 2a - 1 \\ 6 - a = a + 1 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left[\begin{matrix} a = \frac{7}{3} \\ a = \frac{5}{2} \end{matrix}\right.$
3) В случае $a \leq x \leq 6$:
$\left[\begin{matrix} -(x - 6) - (x - a) = 2a - 1 \\ -(x - 6) - (x - a) = a + 1 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left[\begin{matrix} -2x + 6 + a = 2a - 1 \\ -2x + 6 + a = a + 1 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left[\begin{matrix} a = -2x + 7 \\ x = 2{,}5 \end{matrix}\right.$
4) В случае $6 \leq x \leq a$:
$\left[\begin{matrix} (x - 6) + (x - a) = 2a - 1 \\ (x - 6) + (x - a) = a + 1 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left[\begin{matrix} 2x - 6 - a = 2a - 1 \\ 2x - 6 - a = a + 1 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left[\begin{matrix} a = \frac{2}{3}x - \frac{5}{3} \\ a = x - 3{,}5 \end{matrix}\right.$

Определим координаты точки $A$, которая является пересечением прямых $x = 2{,}5$ и $a = -2x + 7$.
Подставив значение $x$, получим: $a = -2 \cdot 2{,}5 + 7 = 2$. Таким образом, $A(2{,}5; 2)$.
Анализируя график, видим, что уравнение имеет ровно два различных корня при условии $-5 < a < 2$ или $2 < a < \frac{7}{3}$.

Ответ: $(-5; 2) \cup (2; \frac{7}{3})$

Источник: ФИПИ

Решение:
Вспомним определение среднего арифметического: $M = \frac{S}{n}$, где $S$ — сумма элементов, а $n$ — их количество. Отсюда сумма набора вычисляется как $S = M \cdot n$.
Пусть на доске выписаны числа. Возьмем два произвольных числа из набора, $x_1$ и $x_2$, и дополним их еще одним числом $a$. По условию, среднее арифметическое любых трех чисел — целое число. Тогда:
$x_1 + a + b = 3 \cdot M_1$
$x_2 + a + b = 3 \cdot M_2$
Вычитая одно равенство из другого, получим: $x_1 - x_2 = 3(M_1 - M_2)$. Это означает, что разность любых двух чисел из набора кратна 3. Аналогичные рассуждения для групп из 4, 5 и 6 чисел показывают, что разность любых двух чисел набора должна делиться на 4, 5 и 6 одновременно. Следовательно, разность любых двух чисел делится на наименьшее общее кратное этих чисел: $\text{НОК}(3, 4, 5, 6) = 60$.

а) Проверим числа 30035 и 325. Их разность составляет: $30035 - 325 = 29710$.
Проверим делимость на 3: сумма цифр числа $2+9+7+1+0 = 19$, что не делится на 3. Значит, разность не кратна 60.
Ответ: нет.

б) Поскольку число 30035 присутствует в наборе, а разность любых чисел кратна 60, все числа в наборе должны иметь вид $60k + 35$ (так как $30035 = 500 \cdot 60 + 35$, то есть дает остаток 35 при делении на 60).
Если мы умножим каждое число на 7, то новое число будет иметь вид:
$7 \cdot (60k + 35) = 420k + 245 = 60 \cdot (7k + 4) + 5$.
Новое число дает остаток 5 при делении на 60. Однако для того, чтобы условие задачи продолжало выполняться (разность кратна 60), все числа должны сохранять исходный остаток 35.
Ответ: нет.

в) Пусть в наборе $n$ чисел. Чтобы среднее арифметическое всех $n$ чисел было целым и имело тот же остаток при делении на 60, необходимо, чтобы сумма $S = n \cdot (60k + 35)$ при делении на $n$ давала число, разность которого с остальными числами кратна 60.
Фактически, среднее арифметическое $M = \frac{S}{n}$ должно давать остаток 35 при делении на 60.
Сумма $n$ чисел вида $60k_i + 35$ равна $60 \sum k_i + 35n$.
Тогда $M = \frac{60 \sum k_i + 35n}{n} = \frac{60 \sum k_i}{n} + 35$.
Для того чтобы $M$ было целым и $M - 35$ делилось на 60, нужно, чтобы $\frac{60 \sum k_i}{n}$ было кратно 60.
Рассмотрим условие из шага (а): сумма $n$ чисел должна быть такой, чтобы $S = n \cdot M$.
Так как каждое число $x_i \equiv 35 \pmod{60}$, то $S \equiv 35n \pmod{60}$.
Среднее арифметическое $M$ также должно удовлетворять $M \equiv 35 \pmod{60}$.
Тогда $35n \equiv 35 \pmod{60}$, что эквивалентно $35(n - 1) \equiv 0 \pmod{60}$.
Разделим обе части на 5: $7(n - 1) \equiv 0 \pmod{12}$.
Так как 7 и 12 взаимно просты, то $(n - 1)$ должно делиться на 12.
Минимальное натуральное $n > 1$, удовлетворяющее этому условию: $n - 1 = 12 \Rightarrow n = 13$.
Пример такого набора: $n = 13$ чисел, где каждое число равно 30035.
Ответ: 13.

Ответ: а) нет б) нет в) 13

Источник: ФИПИ