Задание №25 — Изображения в собирающей и рассеивающей линзе

Решение:
Построение изображения:
Проведём побочную оптическую ось $BO$ и луч из точки $В ,$ параллельный главной оптической оси, который, преломившись, пройдёт через фокус линзы.  Точка их пересечения является изображением точки $B .$ Изображение точки $C$ находится под изображением точки $B$ так как точки $B$ и $C$ равноудалены от линзы. Изображение точки $А$ будет находится на главной оптической оси на расстоянии $2 F ,$ так как точка находится в двойном фокусе.

Формула оптической силы линзы: $D = \frac{1}{F} \Rightarrow F = \frac{1}{D} .$ Фокусное расстояние линзы $F = \frac{1}{2{,}5} = 0{,}4 м = 40 см .$
Найдём расстояние от изображения точки $A$ до линзы по формуле тонкой линзы: $\frac{1}{F} = \frac{1}{d_{a}} + \frac{1}{f_{a}} ,$ где $d_{a} = 2 F .$ Отсюда $f_{a} = \frac{Fd_{a}}{d_{a} - F} = \frac{2 F \cdot F}{2 F - F} = 2 F .$
Пусть $a$ – стороны равнобедренного треугольника.
Найдем $A ' C ' : \frac{1}{F} = \frac{1}{2 F + a} + \frac{1}{2 F - A ' C '} \Rightarrow$$A ' C ' = \frac{aF}{F + a} .$
Из подобия треугольников: $\frac{a}{B ' C '} = \frac{F}{F - A ' C '} \Rightarrow B ' C ' = \frac{a \left(F - \frac{aF}{F + a}\right)}{F} =$$\frac{aF}{F = a} = A ' C ' \Rightarrow$изображение тоже является равнобедренным треугольником. Найдем его площадь:
$S = \frac{1}{2} \left(A ' C '\right)^{2} = \frac{1}{2} \left(\frac{aF}{F + a}\right)^{2} = \frac{1}{2} \left(\frac{4 \cdot 40}{40 + 4}\right)^{2} \approx 6{,}6$ см².

Ответ: 6,6 см²

Источник: ФИПИ