Задание №25 — Закон электромагнитной индукции

Решение:

Обозначения. $m = 370$ г $= 0{,}37$ кг — масса перемычки, $l = 1$ м — её длина (расстояние между сторонами П-образного стержня), $R = 0{,}025$ Ом — сопротивление перемычки, $B = 0{,}1$ Тл — индукция вертикального магнитного поля, $v = 2$ м/с — постоянная скорость перемычки, $\mu = 0{,}2$ — коэффициент трения, $F$ — искомая горизонтальная сила, $\varepsilon$ — ЭДС индукции, $I$ — сила индукционного тока, $F_A$ — сила Ампера, $F_{\text{тр}}$ — сила трения скольжения, $N$ — сила нормальной реакции, $g = 10$ м/с².

Рисунок с указанием сил (описание). На перемычку действуют пять сил:

• сила тяжести $m\vec g$ — вертикально вниз;
• сила нормальной реакции $\vec N$ со стороны горизонтальных направляющих — вертикально вверх;
• приложенная сила $\vec F$ — горизонтально, вдоль направляющих, в сторону движения;
• сила трения скольжения $\vec F_{\text{тр}}$ — горизонтально, против движения;
• сила Ампера $\vec F_A$ — горизонтально, против движения (по правилу Ленца индукционный ток препятствует изменению магнитного потока через контур).

Ток течёт вдоль перемычки (горизонтально), $\vec B$ вертикально, поэтому сила Ампера $\vec F_A = I\vec l \times \vec B$ горизонтальна и вертикальной составляющей не имеет — она не влияет на силу нормального давления.

1. ЭДС индукции и ток. Контур горизонтален, поле вертикально, поэтому магнитный поток через контур $\Phi = BS$, а при движении перемычки площадь контура меняется со скоростью $\dfrac{\Delta S}{\Delta t} = lv$. По закону электромагнитной индукции

$\varepsilon = \left|\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}\right| = Blv = 0{,}1 \cdot 1 \cdot 2 = 0{,}2$ В.

Сопротивлением стержня пренебрегаем, поэтому по закону Ома для полной цепи

$I = \dfrac{\varepsilon}{R} = \dfrac{0{,}2}{0{,}025} = 8$ А.

2. Сила Ампера. $F_A = BIl = 0{,}1 \cdot 8 \cdot 1 = 0{,}8$ Н.

3. Сила трения. В проекции на вертикаль (перемычка движется горизонтально, вертикального ускорения нет): $N = mg = 0{,}37 \cdot 10 = 3{,}7$ Н. Тогда

$F_{\text{тр}} = \mu N = \mu m g = 0{,}2 \cdot 3{,}7 = 0{,}74$ Н.

4. Второй закон Ньютона. Скорость постоянна, значит ускорение равно нулю, и в проекции на направление движения

$F - F_{\text{тр}} - F_A = 0 \;\Rightarrow\; F = \mu m g + \dfrac{B^2l^2v}{R} = 0{,}74 + 0{,}8 = 1{,}54$ Н.

Проверка (энергетическая). Мощность приложенной силы должна равняться сумме мощности силы трения и тепловой мощности тока: $Fv = F_{\text{тр}}v + \dfrac{\varepsilon^2}{R}$, то есть $1{,}54 \cdot 2 = 3{,}08$ Вт и $0{,}74 \cdot 2 + \dfrac{0{,}2^2}{0{,}025} = 1{,}48 + 1{,}6 = 3{,}08$ Вт — совпадает.

Ответ: $F = 1{,}54$ Н.