Задание №25 — Изображения в собирающей и рассеивающей линзе

Решение:
Обозначим вершины квадрата $ABCD ,$ тогда $AB = AD = a .$
Построение изображения:
Проведём побочные оптические оси $AO$ и $BO$ и луч $AB ,$ параллельный главной оптической оси, который, преломившись, пройдёт через фокус линзы. Точки их пересечения являются изображениями точек $A$ и $B$ соответственно. В силу симметрии предмета относительно главной оптической оси его изображение также будет симметричным. В результате построений получим изображение квадрата $ABCD$ в виде равнобедренной трапеции $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ (см. рисунок). 

Формула оптической силы линзы: $D = \frac{1}{F} \Rightarrow F = \frac{1}{D} .$. Фокусное расстояние линзы $F = \frac{1}{2} = 0{,}5 м = 50 см .$
По рисунку расстояние от линзы до квадрата $d_{2} = d_{1} - a = 90 - 20 = 70$ см.
Используя формулу тонкой линзы, определим расстояния от линзы до оснований трапеции:  $\frac{1}{F} = \frac{1}{d_{1}} + \frac{1}{f_{1}}$ и $\frac{1}{F} = \frac{1}{d_{2}} + \frac{1}{f_{2}} .$
Отсюда $f_{1} = \frac{Fd_{1}}{d_{1} - F} = \frac{50 \cdot 90}{90 - 50} = 112{,}5$ см и $f_{2} = \frac{Fd_{2}}{d_{2} - F} = \frac{50 \cdot 70}{70 - 50} = 175$ см.
Высота трапеции $h = f_{2} - f_{1} = 175 - 112{,}5 = 62{,}5$ см.
Используя формулу увеличения линзы для двух сторон квадрата, получим $\frac{AD}{d_{1}} = \frac{A_{1} D_{1}}{f_{1}}$ и $\frac{BC}{d_{2}} = \frac{B_{1} C_{1}}{f_{2}} .$ Отсюда следует $A_{1} D_{1} = \frac{f_{1} \cdot AD}{d_{1}} = \frac{112{,}5 \cdot 20}{90} = 25$ см и $B_{1} C_{1} = \frac{f_{2} \cdot BC}{d_{2}} = \frac{175 \cdot 20}{70} = 50$ см.
Площадь изображения (трапеции) определяется формулой

$S = \frac{A_{1} D_{1} + B_{1} C_{1}}{2} h = \frac{25 + 50}{2} \cdot 62{,}5 \approx 2344$ см².

Ответ: 2344 см²

Источник: ФИПИ