Задание №25 — Сила Лоренца. Правило левой руки

Решение:

Обозначения. $q = 3{,}2 \cdot 10^{-19}$ Кл — заряд иона, $m = 1{,}5 \cdot 10^{-25}$ кг — его масса, $U = 10^{3}$ В — ускоряющая разность потенциалов, $B = 0{,}2$ Тл — индукция магнитного поля, $v$ — скорость иона при входе в магнитное поле, $r$ — искомый радиус окружности.

1. Разгон в электрическом поле. Работа сил электрического поля идёт на увеличение кинетической энергии иона (начальной скоростью и силой тяжести пренебрегаем, установка в вакууме — сопротивления среды нет). По теореме о кинетической энергии:

$qU = \dfrac{mv^2}{2} \;\Rightarrow\; v = \sqrt{\dfrac{2qU}{m}}$.

$v = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 3{,}2\cdot10^{-19} \cdot 10^{3}}{1{,}5\cdot10^{-25}}} = \sqrt{4{,}27\cdot10^{9}} \approx 6{,}5\cdot10^{4}$ м/с.

Так как $v \ll c$, можно пользоваться формулами классической механики.

2. Движение в магнитном поле. Скорость иона перпендикулярна $\vec B$, поэтому на него действует сила Лоренца $F_{\text{Л}} = qvB$, постоянная по модулю и перпендикулярная скорости. Она не совершает работы (модуль скорости не меняется) и играет роль центростремительной силы, поэтому траектория — окружность радиуса $r$. По второму закону Ньютона в проекции на направление к центру окружности:

$qvB = \dfrac{mv^2}{r} \;\Rightarrow\; r = \dfrac{mv}{qB}$.

3. Расчёт. Подставляя выражение для скорости, получаем удобную формулу:

$r = \dfrac{m}{qB}\sqrt{\dfrac{2qU}{m}} = \dfrac{1}{B}\sqrt{\dfrac{2mU}{q}}$.

$r = \dfrac{1}{0{,}2}\sqrt{\dfrac{2 \cdot 1{,}5\cdot10^{-25} \cdot 10^{3}}{3{,}2\cdot10^{-19}}} = 5\sqrt{9{,}375\cdot10^{-4}} \approx 5 \cdot 3{,}06\cdot10^{-2} \approx 0{,}15$ м.

Тот же результат через скорость: $r = \dfrac{mv}{qB} = \dfrac{1{,}5\cdot10^{-25} \cdot 6{,}5\cdot10^{4}}{3{,}2\cdot10^{-19} \cdot 0{,}2} \approx 0{,}15$ м.

Ответ: $r \approx 0{,}15$ м $= 15$ см.