Задание №25 — Явление электромагнитной индукции. Магнитный поток

Решение:

Обозначения. $l = 10$ см $= 0{,}1$ м — сторона рамки, $S = l^2 = 0{,}01$ м² — площадь рамки, $t = 10$ с — полное время наблюдения, $Q = 0{,}16$ мДж $= 1{,}6 \cdot 10^{-4}$ Дж — выделившееся количество теплоты, $R$ — искомое сопротивление рамки, $\varepsilon_1$ и $\varepsilon_2$ — ЭДС индукции на первом и втором участках графика, $t_1$ и $t_2$ — длительности этих участков.

Используемые законы. Магнитный поток через рамку $\Phi = B_n S$, где $B_n$ — проекция вектора $\vec B$ на нормаль к плоскости рамки. По закону электромагнитной индукции Фарадея $\varepsilon = \left|\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}\right| = S\left|\dfrac{\Delta B_n}{\Delta t}\right|$. По закону Джоуля—Ленца за время $\Delta t$ при постоянной ЭДС выделяется теплота $\Delta Q = \dfrac{\varepsilon^2}{R}\Delta t$ (рамка замкнута сама на себя, её полное сопротивление $R$).

1. Скорости изменения поля по графику. График состоит из двух прямолинейных участков, на каждом из них $B_n$ меняется равномерно, поэтому ЭДС на каждом участке постоянна.

• $0 \le t \le 4$ с: $B_n$ убывает от $0{,}6$ Тл до $-0{,}4$ Тл, значит $\left|\dfrac{\Delta B_n}{\Delta t}\right|_1 = \dfrac{1{,}0\ \text{Тл}}{4\ \text{с}} = 0{,}25$ Тл/с, $t_1 = 4$ с.
• $4\ \text{с} \le t \le 10$ с: $B_n$ растёт от $-0{,}4$ Тл до $0{,}2$ Тл, значит $\left|\dfrac{\Delta B_n}{\Delta t}\right|_2 = \dfrac{0{,}6\ \text{Тл}}{6\ \text{с}} = 0{,}1$ Тл/с, $t_2 = 6$ с.

2. ЭДС индукции.

$\varepsilon_1 = S \cdot 0{,}25 = 0{,}01 \cdot 0{,}25 = 2{,}5 \cdot 10^{-3}$ В; $\qquad \varepsilon_2 = S \cdot 0{,}1 = 0{,}01 \cdot 0{,}1 = 1{,}0 \cdot 10^{-3}$ В.

3. Полная теплота и сопротивление.

$Q = \dfrac{\varepsilon_1^2}{R}t_1 + \dfrac{\varepsilon_2^2}{R}t_2 \;\Rightarrow\; R = \dfrac{\varepsilon_1^2 t_1 + \varepsilon_2^2 t_2}{Q}$.

$R = \dfrac{\left(2{,}5\cdot10^{-3}\right)^2 \cdot 4 + \left(10^{-3}\right)^2 \cdot 6}{1{,}6\cdot10^{-4}} = \dfrac{2{,}5\cdot10^{-5} + 6\cdot10^{-6}}{1{,}6\cdot10^{-4}} = \dfrac{3{,}1\cdot10^{-5}}{1{,}6\cdot10^{-4}} \approx 0{,}19$ Ом.

Ответ: $R \approx 0{,}19$ Ом (примерно $0{,}2$ Ом).