Задание №25 — Модуль вектора магнитной индукции и его направление

Решение:

Обозначения. $I = 4$ А — сила тока в стержне, $\alpha = 30^{\circ}$ — угол наклона плоскости, $\dfrac{m}{L} = 0{,}1$ кг/м — отношение массы стержня к его длине, $B = 0{,}2$ Тл — модуль индукции магнитного поля (поле вертикально), $a$ — искомое ускорение, $N$ — сила нормальной реакции плоскости, $F_A$ — сила Ампера, $g = 10$ м/с².

Рисунок с указанием сил (описание). Стержень лежит на наклонной плоскости горизонтально (перпендикулярно линии наибольшего ската). На него действуют три силы:

• сила тяжести $m\vec g$ — вертикально вниз, приложена к центру стержня;
• сила нормальной реакции $\vec N$ — перпендикулярно поверхности наклонной плоскости, от неё наружу (плоскость гладкая, диэлектрическая, силы трения нет);
• сила Ампера $\vec F_A$ — горизонтально, перпендикулярно стержню, в сторону подъёма плоскости (то есть вдоль горизонтальной проекции ускорения).

Ускорение $\vec a$ направлено вдоль наклонной плоскости вверх (по линии наибольшего ската), его вертикальная составляющая $a\sin\alpha$, горизонтальная — $a\cos\alpha$.

1. Сила Ампера. Ток течёт вдоль горизонтального стержня, вектор $\vec B$ вертикален, поэтому угол между направлением тока и $\vec B$ равен $90^{\circ}$ и

$F_A = BIL\sin 90^{\circ} = BIL$.

Сила Ампера $\vec F_A = I\vec L \times \vec B$ перпендикулярна и стержню, и вектору $\vec B$, значит, она горизонтальна и направлена перпендикулярно стержню; именно она разгоняет стержень вверх по плоскости.

2. Второй закон Ньютона. $m\vec a = m\vec g + \vec N + \vec F_A$. Спроецируем это уравнение на направление движения — вдоль наклонной плоскости вверх (сила $\vec N$ на это направление проекции не даёт):

$F_A\cos\alpha - mg\sin\alpha = ma$.

3. Ускорение. Подставляя $F_A = BIL$ и деля на $m$:

$a = \dfrac{BIL\cos\alpha - mg\sin\alpha}{m} = \dfrac{BI\cos\alpha}{\left(\dfrac{m}{L}\right)} - g\sin\alpha$.

$a = \dfrac{0{,}2 \cdot 4 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}}{0{,}1} - 10 \cdot 0{,}5 = 4\sqrt{3} - 5 \approx 6{,}93 - 5 \approx 1{,}9$ м/с².

Проверка. Проекция на нормаль к плоскости даёт $N = mg\cos\alpha + F_A\sin\alpha \gt 0$ (в расчёте на единицу длины $\dfrac{N}{L} = 0{,}1 \cdot 10 \cdot 0{,}866 + 0{,}2 \cdot 4 \cdot 0{,}5 \approx 1{,}27$ Н/м), то есть стержень действительно остаётся на плоскости, что согласуется с условием.

Ответ: $a = 4\sqrt{3} - 5 \approx 1{,}9$ м/с², ускорение направлено вдоль наклонной плоскости вверх.