Задание №25 — Конденсатор. Электрическая ёмкость конденсатора

Решение:

Обозначения. $l = 10$ см $= 0{,}1$ м — длина проводника, $m = 25$ г $= 0{,}025$ кг — его масса, $B = 0{,}5$ Тл — индукция магнитного поля, $C = 20$ мкФ $= 2 \cdot 10^{-5}$ Ф — ёмкость конденсатора, $q = 1$ мкКл $= 10^{-6}$ Кл — заряд конденсатора, $R$ — искомое сопротивление резистора, $v$ — скорость проводника, $\varepsilon$ — ЭДС индукции, $I$ — сила тока через резистор, $U$ — напряжение на резисторе (оно же на конденсаторе), $F_A$ — сила Ампера, $g = 10$ м/с².

1. Ток через конденсатор. Проводник скользит равномерно, поэтому $v = \mathrm{const}$, и ЭДС индукции $\varepsilon = Blv$ постоянна. Значит, постоянно и напряжение на конденсаторе, а ток через конденсатор $i_C = C\dfrac{\Delta U}{\Delta t} = 0$: его заряд не меняется. Следовательно, весь ток в цепи идёт через резистор.

2. Напряжение на резисторе. Конденсатор подключён параллельно резистору, поэтому напряжение на нём равно напряжению на резисторе. Из определения ёмкости $q = CU$:

$U = \dfrac{q}{C} = \dfrac{10^{-6}\ \text{Кл}}{2\cdot 10^{-5}\ \text{Ф}} = 0{,}05$ В.

3. Сила тока. На проводник действуют сила тяжести $m\vec g$ (вертикально вниз) и сила Ампера $\vec F_A$ (по правилу Ленца индукционный ток препятствует движению, поэтому сила Ампера направлена вертикально вверх); трения и потери контакта нет. Так как проводник движется равномерно (ускорение равно нулю), по второму закону Ньютона равнодействующая равна нулю:

$mg = F_A = BIl$, откуда $I = \dfrac{mg}{Bl} = \dfrac{0{,}025 \cdot 10}{0{,}5 \cdot 0{,}1} = 5$ А.

4. Сопротивление. Сопротивлением проводника и шин пренебрегаем, поэтому по закону Ома для участка цепи

$R = \dfrac{U}{I} = \dfrac{0{,}05\ \text{В}}{5\ \text{А}} = 0{,}01$ Ом.

Проверка. Скорость проводника $v = \dfrac{\varepsilon}{Bl} = \dfrac{U}{Bl} = \dfrac{0{,}05}{0{,}5 \cdot 0{,}1} = 1$ м/с — физически разумное значение.

Ответ: $R = 0{,}01$ Ом $= 10$ мОм.