Задание №26 — Закон сохранения импульса системы тел

Решение:

Обоснование применимости законов. Движение рассматриваем в инерциальной системе отсчёта, связанной с Землёй: за время полёта и разрыва снаряда вращением и ускоренным движением Земли можно пренебречь, поэтому в этой системе отсчёта справедливы законы Ньютона и вытекающие из них законы сохранения. Снаряд и осколки считаем материальными точками, так как их размеры малы по сравнению с расстояниями, на которых они движутся, а их вращение в условии не рассматривается. Скорости тел (сотни метров в секунду) во много раз меньше скорости света, поэтому пользуемся классическими выражениями для импульса $\vec p=m\vec v$ и кинетической энергии $E=\dfrac{mv^2}{2}$.

Разрыв снаряда происходит за очень малый промежуток времени $\tau$, причём внутренние силы (силы давления пороховых газов) огромны по сравнению с внешними силами: сопротивлением воздуха по условию пренебрегаем, а импульс силы тяжести $mg\tau$ за время разрыва пренебрежимо мал по сравнению с импульсами тел. Поэтому в момент разрыва систему «снаряд — осколки» можно считать замкнутой и применить закон сохранения импульса. Масса системы при разрыве сохраняется, осколки равны по массе, поэтому $m_1=m_2=\dfrac{m}{2}$.

Закон сохранения механической энергии к разрыву неприменим: при взрыве часть внутренней (химической) энергии заряда переходит в кинетическую энергию осколков, и суммарная кинетическая энергия возрастает на заданную величину $\Delta E$. Наконец, по условию оба осколка летят вдоль линии движения снаряда (один — по направлению движения, другой — против), поэтому векторное уравнение закона сохранения импульса сводится к одному скалярному уравнению в проекциях на ось $Ox$, направленную по скорости снаряда.

Обозначения. $m=4\ \text{кг}$ — масса снаряда; $v=400\ \text{м/с}$ — его скорость перед разрывом; $m_1=m_2=\dfrac{m}{2}=2\ \text{кг}$ — массы осколков; $v_1$ — проекция на ось $Ox$ скорости осколка, летящего по направлению движения снаряда ($v_1\gt 0$, это искомая величина); $v_2$ — проекция на ось $Ox$ скорости второго осколка ($v_2\lt 0$, так как он летит в противоположную сторону); $\Delta E=0{,}5\ \text{МДж}=5\cdot 10^{5}\ \text{Дж}$ — прирост суммарной кинетической энергии при разрыве.

1) Закон сохранения импульса в проекции на ось $Ox$:

$$mv=m_1v_1+m_2v_2=\dfrac{m}{2}\,(v_1+v_2)\quad\Longrightarrow\quad v_1+v_2=2v=800\ \text{м/с}.$$

2) Условие на энергию. Суммарная кинетическая энергия осколков больше кинетической энергии снаряда на $\Delta E$:

$$\dfrac{m_1v_1^{2}}{2}+\dfrac{m_2v_2^{2}}{2}-\dfrac{mv^{2}}{2}=\Delta E,\qquad\text{то есть}\qquad \dfrac{m}{4}\left(v_1^{2}+v_2^{2}\right)=\dfrac{mv^{2}}{2}+\Delta E,$$

откуда

$$v_1^{2}+v_2^{2}=2v^{2}+\dfrac{4\,\Delta E}{m}=2\cdot 400^{2}+\dfrac{4\cdot 5\cdot 10^{5}}{4}=320\,000+500\,000=820\,000\ \dfrac{\text{м}^2}{\text{с}^2}.$$

3) Математические преобразования. Обозначим $\sigma=v_1+v_2=800\ \text{м/с}$. Тогда

$$2v_1v_2=(v_1+v_2)^{2}-\left(v_1^{2}+v_2^{2}\right)=800^{2}-820\,000=640\,000-820\,000=-180\,000,$$

то есть $v_1v_2=-90\,000\ \dfrac{\text{м}^2}{\text{с}^2}$. Значит $v_1$ и $v_2$ — корни квадратного уравнения

$$x^{2}-800x-90\,000=0,\qquad D=800^{2}+4\cdot 90\,000=640\,000+360\,000=10^{6},\qquad \sqrt{D}=1000,$$

$$x_{1,2}=\dfrac{800\pm 1000}{2}\quad\Longrightarrow\quad x_1=900,\qquad x_2=-100.$$

Положительный корень отвечает осколку, летящему по направлению движения снаряда, отрицательный — осколку, летящему в противоположную сторону (что согласуется с условием):

$$v_1=900\ \text{м/с},\qquad v_2=-100\ \text{м/с}\ \ (\text{модуль скорости }100\ \text{м/с}).$$

Проверка. Импульс: $2\cdot 900+2\cdot(-100)=1600\ \text{кг}\cdot\text{м/с}=4\cdot 400$ — сохраняется. Энергия: $\dfrac{2\cdot 900^{2}}{2}+\dfrac{2\cdot 100^{2}}{2}-\dfrac{4\cdot 400^{2}}{2}=810\,000+10\,000-320\,000=5\cdot 10^{5}\ \text{Дж}=0{,}5\ \text{МДж}$ — совпадает с условием.

Ответ: $v_1=900\ \text{м/с}$ (второй осколок летит назад со скоростью $100\ \text{м/с}$).

Источник: ФИПИ