Задание №26 — Закон сохранения импульса системы тел

Решение:

Обоснование применимости законов. Все рассуждения проводим в инерциальной системе отсчёта, связанной с землёй. Разрыв снаряда происходит за очень малый промежуток времени $\tau$. Внешние силы, действующие на систему (сила тяжести и сила сопротивления воздуха), конечны, поэтому их суммарный импульс $\vec{F}_{\text{внеш}}\tau$ за время разрыва пренебрежимо мал по сравнению с импульсами, которыми обмениваются части снаряда под действием огромных внутренних сил давления пороховых газов. Следовательно, в момент разрыва систему «снаряд — осколки» можно считать замкнутой и применить закон сохранения импульса. Снаряд и осколки малы по сравнению с длиной их траектории, поэтому их считаем материальными точками; скорости осколков много меньше скорости света, значит кинетическую энергию вычисляем по классической формуле $E=\dfrac{mv^{2}}{2}$. По условию оба осколка движутся вдоль той же прямой, по которой летел снаряд, поэтому векторное уравнение закона сохранения импульса сводится к одному скалярному уравнению — уравнению проекций на ось $OX$. Механическая энергия системы при взрыве не сохраняется: часть энергии взрывчатого вещества переходит в кинетическую энергию осколков, и именно эту добавку $\Delta E$ требуется найти из энергетического баланса.

Обозначения. $M = 2\ \text{кг}$ — масса снаряда; $m_{1}=m_{2}=\dfrac{M}{2}=1\ \text{кг}$ — массы одинаковых осколков; $v$ — модуль скорости снаряда непосредственно перед разрывом; $v_{1}=900\ \text{м/с}$ — модуль скорости осколка, летящего по направлению движения снаряда; $v_{2}=100\ \text{м/с}$ — модуль скорости второго осколка; $E_{0}$ и $E$ — кинетическая энергия системы непосредственно до и сразу после разрыва; $\Delta E$ — прирост кинетической энергии за счёт энергии взрыва. Ось $OX$ направим по направлению движения снаряда.

Закон сохранения импульса. В проекции на ось $OX$ (первый осколок летит по оси, второй — против неё):

$$M v = m_{1} v_{1} - m_{2} v_{2}.$$

Так как $m_{1}=m_{2}=\dfrac{M}{2}$, получаем

$$M v = \frac{M}{2}\,(v_{1}-v_{2}) \quad \Rightarrow \quad v = \frac{v_{1}-v_{2}}{2} = \frac{900 - 100}{2} = 400\ \text{м/с}.$$

Энергетический баланс. Прирост кинетической энергии равен разности кинетических энергий системы после и до разрыва:

$$\Delta E = E - E_{0} = \left(\frac{m_{1}v_{1}^{2}}{2} + \frac{m_{2}v_{2}^{2}}{2}\right) - \frac{M v^{2}}{2} = \frac{M}{4}\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\right) - \frac{M v^{2}}{2}.$$

Подставляя $v=\dfrac{v_{1}-v_{2}}{2}$, получаем компактную формулу

$$\Delta E = \frac{M}{4}\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\right) - \frac{M}{2}\cdot\frac{(v_{1}-v_{2})^{2}}{4} = \frac{M\,(v_{1}+v_{2})^{2}}{8}.$$

Расчёт. Проверим оба пути. Кинетическая энергия до разрыва:

$$E_{0} = \frac{M v^{2}}{2} = \frac{2\cdot 400^{2}}{2} = 1{,}6\cdot 10^{5}\ \text{Дж} = 160\ \text{кДж}.$$

Кинетическая энергия сразу после разрыва:

$$E = \frac{1\cdot 900^{2}}{2} + \frac{1\cdot 100^{2}}{2} = 4{,}05\cdot 10^{5} + 0{,}05\cdot 10^{5} = 4{,}1\cdot 10^{5}\ \text{Дж} = 410\ \text{кДж}.$$

$$\Delta E = E - E_{0} = 410 - 160 = 250\ \text{кДж}.$$

По компактной формуле: $\Delta E = \dfrac{2\cdot(900+100)^{2}}{8} = \dfrac{2\cdot 10^{6}}{8} = 2{,}5\cdot 10^{5}\ \text{Дж}$ — результаты совпадают.

Ответ: $\Delta E = 2{,}5\cdot 10^{5}\ \text{Дж} = 250\ \text{кДж}$.