Задание №26 — Закон сохранения механической энергии

Решение:

Обоснование применимости законов. Все рассуждения проводим в инерциальной системе отсчёта, связанной с землёй (с полусферой). Задача распадается на два этапа, и на каждом применимы разные законы сохранения.

1) Удар. Пуля застревает в теле — удар абсолютно неупругий, механическая энергия при нём не сохраняется (часть её переходит во внутреннюю). Зато удар длится очень малое время $\tau$, а внешние силы (тяжесть и реакция полусферы) конечны, поэтому их импульс за время удара пренебрежимо мал. Кроме того, в верхней точке полусферы и сила тяжести, и нормальная реакция вертикальны, то есть горизонтальных внешних сил на систему «тело + пуля» не действует. Поэтому горизонтальная проекция импульса системы при ударе сохраняется. Смещением тела за время удара по условию пренебрегаем, значит сразу после удара тело всё ещё находится в верхней точке полусферы.

2) Скольжение. Полусфера гладкая, сопротивление воздуха отсутствует, а нормальная реакция опоры перпендикулярна скорости и работы не совершает. Следовательно, при движении тела по поверхности полусферы механическая энергия системы «тело с пулей + Земля» сохраняется. Тело считаем материальной точкой (оно небольшое), поле тяжести вблизи поверхности Земли однородно, $g=10\ \text{м/с}^{2}$. Пока тело прижато к полусфере, оно движется по окружности радиуса $R$, поэтому в проекции на направление к центру справедлив второй закон Ньютона с центростремительным ускорением $a_{c}=\dfrac{v^{2}}{R}$. Момент отрыва определяется условием обращения силы нормальной реакции в нуль: $N=0$.

Обозначения. $M=0{,}99\ \text{кг}$ — масса тела; $m=0{,}01\ \text{кг}$ — масса пули; $v_{0}=200\ \text{м/с}$ — скорость пули до удара; $u$ — скорость тела с застрявшей пулей сразу после удара (горизонтальна); $R=1\ \text{м}$ — радиус полусферы; $\alpha$ — угол между вертикалью и радиусом, проведённым в точку, где находится тело; $v$ — скорость тела в момент отрыва; $h=R\cos\alpha$ — искомая высота точки отрыва над основанием полусферы; $N$ — модуль силы нормальной реакции поверхности.

Этап 1. Закон сохранения импульса при ударе (проекция на горизонтальную ось, направленную по скорости пули):

$$m v_{0} = (M+m)\,u \quad \Rightarrow \quad u = \frac{m v_{0}}{M+m} = \frac{0{,}01\cdot 200}{0{,}99+0{,}01} = 2\ \text{м/с}.$$

Проверим, что тело не отрывается сразу: в верхней точке для движения по окружности необходимо $\dfrac{(M+m)u^{2}}{R}\le (M+m)g$, то есть $u^{2}\le gR$; действительно, $4\ \text{м}^{2}/\text{с}^{2} \lt 10\ \text{м}^{2}/\text{с}^{2}$, значит тело сначала скользит по полусфере.

Этап 2. Второй закон Ньютона в момент отрыва. В проекции на направление к центру полусферы:

$$(M+m)g\cos\alpha - N = \frac{(M+m)v^{2}}{R}.$$

В момент отрыва $N=0$, поэтому

$$v^{2} = gR\cos\alpha = g\,h, \qquad \text{так как } h = R\cos\alpha.$$

Закон сохранения механической энергии (нулевой уровень — основание полусферы) между верхней точкой (высота $R$, скорость $u$) и точкой отрыва (высота $h$, скорость $v$):

$$\frac{(M+m)u^{2}}{2} + (M+m)gR = \frac{(M+m)v^{2}}{2} + (M+m)g h.$$

Сократим на $(M+m)$ и умножим на 2:

$$u^{2} + 2gR = v^{2} + 2gh = gh + 2gh = 3gh,$$

$$h = \frac{u^{2}+2gR}{3g}.$$

Расчёт.

$$h = \frac{2^{2} + 2\cdot 10\cdot 1}{3\cdot 10} = \frac{4+20}{30} = 0{,}8\ \text{м}.$$

Результат разумен: $h \lt R = 1\ \text{м}$, а при $u\to 0$ формула даёт классическое значение $h=\dfrac{2R}{3}\approx 0{,}67\ \text{м}$; начальная скорость $u$ закономерно поднимает точку отрыва выше.

Ответ: $h = \dfrac{u^{2}+2gR}{3g} = 0{,}8\ \text{м}$.